Упр.1443 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(?+?) < sin(?)+sin(?); б) sin(?+?) < cos(?)+cos(?); в) cos(?-?) < cos(?)+sin(?); г) tg(?+?) > tg(?)+tg(?).

Пусть $$0<a<\frac{\pi}{2}, \quad 0<b<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда $$\sin a>0,\ \sin b>0,\ \cos a>0,\ \cos b>0,$$ причём $$\sin a<1,\ \sin b<1,\ \cos a<1,\ \cos b<1.$$

1. Докажем, что $$\sin(a+b)<\sin a+\sin b.$$

   По формуле суммы:

   $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.$$

   Так как $$0<\cos a<1$$ и $$0<\cos b<1,$$ то

   $$\sin a\cos b<\sin a,\qquad \sin b\cos a<\sin b.$$

   Складывая, получаем:

   $$\sin(a+b)<\sin a+\sin b.$$

2. Докажем, что $$\sin(a+b)<\cos a+\cos b.$$

   Имеем:

   $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.$$

   Так как $$0<\sin a<1$$ и $$0<\sin b<1,$$ то

   $$\sin a\cos b<\cos b,\qquad \sin b\cos a<\cos a.$$

   Следовательно,

   $$\sin(a+b)<\cos a+\cos b.$$

3. Докажем, что $$\cos(a-b)<\cos a+\sin b.$$

   По формуле разности:

   $$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

   Так как $$0<\cos b<1$$ и $$0<\sin a<1,$$ то

   $$\cos a\cos b<\cos a,\qquad \sin a\sin b<\sin b.$$

   Тогда

   $$\cos(a-b)<\cos a+\sin b.$$

4. Проверим утверждение $$\tg(a+b)>\tg a+\tg b.$$

   Это не всегда верно. Например, при $$a=45^\circ$$ и $$b=60^\circ$$ получаем:

   $$\tg(a+b)=\tg 105^\circ<0,$$

   а

   $$\tg a+\tg b=\tg 45^\circ+\tg 60^\circ=1+\sqrt{3}>0.$$

   Значит, неравенство $$\tg(a+b)>\tg a+\tg b$$ неверно.

Ответ

а), б), в) — верны; г) — неверно.