Упр.1442 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\frac{\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}-\frac{\sin(?+?)}{\sin(?-?)}+\frac{\sin(?+?)}{\sin(?)\sin(?)}=\operatorname{ctg}(?)+\operatorname{ctg}(?);$$

б) $$\frac{\sin(?-?)}{\sin(?)\sin(?)}+\frac{\sin(?-?)}{\sin(?)\sin(?)}+\frac{\sin(?-?)}{\sin(?)\sin(?)}=0.$$

а) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы и разности синусов:

$$\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a-\tg \beta} -\frac{\sin(a+\beta)}{\sin(a-\beta)} +\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \sin \beta}$$

$$=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} -\frac{\sin a\cos \beta+\sin \beta\cos a}{\sin a\cos \beta-\sin \beta\cos a} +\frac{\sin a\cos \beta+\sin \beta\cos a}{\sin a\sin \beta}$$

$$=\frac{\sin a\cos \beta+\sin \beta\cos a}{\sin a\cos \beta-\sin \beta\cos a} -\frac{\sin a\cos \beta+\sin \beta\cos a}{\sin a\cos \beta-\sin \beta\cos a} +\frac{\cos \beta}{\sin \beta}+\frac{\cos a}{\sin a}$$

$$=\ctg \beta+\ctg a.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем каждую дробь по формуле разности синусов:

$$\frac{\sin(a-\beta)}{\sin a \sin \beta} +\frac{\sin(\beta-\gamma)}{\sin \beta \sin \gamma} +\frac{\sin(\gamma-a)}{\sin \gamma \sin a}$$

$$=\frac{\sin a\cos \beta-\sin \beta\cos a}{\sin a \sin \beta} +\frac{\sin \beta\cos \gamma-\sin \gamma\cos \beta}{\sin \beta \sin \gamma} +\frac{\sin \gamma\cos a-\sin a\cos \gamma}{\sin \gamma \sin a}$$

$$=\frac{\cos \beta}{\sin \beta}-\frac{\cos a}{\sin a} +\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}-\frac{\cos \beta}{\sin \beta} +\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} =0.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\ctg a+\ctg \beta$$;
б) $$0$$.