Упр.1441 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1441. Выразите ctg(?+?) и ctg(?-?) через ctg(?) и ctg(?).

Используем формулу для тангенса суммы и разности:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a \tg b}.$$

Тогда

$$\ctg(a+b)=\frac{1}{\tg(a+b)}=\frac{1-\tg a \tg b}{\tg a+\tg b}.$$

Выразим через котангенсы, подставив $$\tg a=\frac{1}{\ctg a}$$ и $$\tg b=\frac{1}{\ctg b}$$:

$$\ctg(a+b)=\frac{1-\frac{1}{\ctg a \ctg b}}{\frac{1}{\ctg a}+\frac{1}{\ctg b}}=\frac{\ctg a \ctg b-1}{\ctg a+\ctg b}.$$

Аналогично

$$\ctg(a-b)=\frac{1}{\tg(a-b)}=\frac{1+\tg a \tg b}{\tg a-\tg b}.$$

Подставим $$\tg a=\frac{1}{\ctg a}$$ и $$\tg b=\frac{1}{\ctg b}$$:

$$\ctg(a-b)=\frac{1+\frac{1}{\ctg a \ctg b}}{\frac{1}{\ctg a}-\frac{1}{\ctg b}}=\frac{\ctg a \ctg b+1}{\ctg b-\ctg a}.$$

Ответ

$$\ctg(a+b)=\frac{\ctg a \ctg b-1}{\ctg a+\ctg b}, \qquad \ctg(a-b)=\frac{\ctg a \ctg b+1}{\ctg b-\ctg a}.$$