Упр.1440 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Преобразуйте выражение: а) $$\operatorname{tg}(45^\circ+?)\operatorname{tg}(45^\circ-?)$$; в) $$\frac{1-\operatorname{tg}(?)}{1+\operatorname{tg}(?)}-\operatorname{tg}(45^\circ-?)$$; б) $$\operatorname{tg}(?+60^\circ)\operatorname{tg}(?-60^\circ)$$; г) $$\operatorname{tg}(45^\circ+?)+\frac{1-\operatorname{tg}(?)}{1+\operatorname{tg}(?)}$$.

Используем формулы сложения и вычитания для тангенса:

$$\tg(\alpha \pm \beta)=\frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg \alpha \tg \beta}.$$

1. $$\tg(45^\circ+a)\tg(45^\circ-a)=\frac{\tg45^\circ+\tg a}{1-\tg45^\circ\tg a}\cdot\frac{\tg45^\circ-\tg a}{1+\tg45^\circ\tg a}.$$

   Так как $$\tg45^\circ=1,$$ получаем

   $$\tg(45^\circ+a)\tg(45^\circ-a)=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}\cdot\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=1.$$

2. $$\tg(a+60^\circ)\tg(a-60^\circ)=\frac{\tg a+\tg60^\circ}{1-\tg a\tg60^\circ}\cdot\frac{\tg a-\tg60^\circ}{1+\tg a\tg60^\circ}.$$

   Так как $$\tg60^\circ=\sqrt3,$$ то

   $$\tg(a+60^\circ)\tg(a-60^\circ)=\frac{\tg a+\sqrt3}{1-\sqrt3\,\tg a}\cdot\frac{\tg a-\sqrt3}{1+\sqrt3\,\tg a}.$$

   Перемножим дроби:

   $$\tg(a+60^\circ)\tg(a-60^\circ)=\frac{\tg^2 a-3}{1-3\tg^2 a}.$$

3. $$\frac{1-\tg a}{1+\tg a}-\tg(45^\circ-a)=\frac{\tg45^\circ-\tg a}{1+\tg45^\circ\tg a}-\tg(45^\circ-a).$$

   Так как $$\tg45^\circ=1,$$ имеем

   $$\frac{1-\tg a}{1+\tg a}-\tg(45^\circ-a)=\tg(45^\circ-a)-\tg(45^\circ-a)=0.$$

4. $$\tg(45^\circ+a)+\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\frac{\tg45^\circ+\tg a}{1-\tg45^\circ\tg a}+\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

   Так как $$\tg45^\circ=1,$$ получаем

   $$\tg(45^\circ+a)+\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}+\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(1+\tg a)^2+(1-\tg a)^2}{1-\tg^2 a}=\frac{1+2\tg a+\tg^2 a+1-2\tg a+\tg^2 a}{1-\tg^2 a}=\frac{2(1+\tg^2 a)}{1-\tg^2 a}.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{\tg^2 a-3}{1-3\tg^2 a}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{2(1+\tg^2 a)}{1-\tg^2 a}$$.