Упр.1439 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\frac{\operatorname{tg}^2(25^\circ)-\operatorname{tg}^2(15^\circ)}{1-\operatorname{tg}^2(25^\circ)\operatorname{tg}^2(10^\circ)}$$;
   б) $$\frac{\operatorname{tg}^2(1{,}8)-\operatorname{tg}^2(1{,}2)}{1-\operatorname{tg}^2(1{,}8)\operatorname{tg}^2(1{,}2)}$$.

Используем формулу:

$$\frac{\tg^2 x-\tg^2 y}{1-\tg^2 x\,\tg^2 y}=\frac{\tg x-\tg y}{1+\tg x\,\tg y}\cdot\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\,\tg y}.$$

1. $$\frac{\tg^2 25^\circ-\tg^2 15^\circ}{1-\tg^2 25^\circ\,\tg^2 10^\circ}=\frac{\tg 25^\circ-\tg 15^\circ}{1+\tg 25^\circ\,\tg 15^\circ}\cdot\frac{\tg 25^\circ+\tg 15^\circ}{1-\tg 25^\circ\,\tg 15^\circ}.$$

   По формулам тангенса суммы и разности:

   $$\frac{\tg 25^\circ-\tg 15^\circ}{1+\tg 25^\circ\,\tg 15^\circ}=\tg(25^\circ-15^\circ)=\tg 10^\circ,$$

   $$\frac{\tg 25^\circ+\tg 15^\circ}{1-\tg 25^\circ\,\tg 15^\circ}=\tg(25^\circ+15^\circ)=\tg 40^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{\tg^2 25^\circ-\tg^2 15^\circ}{1-\tg^2 25^\circ\,\tg^2 10^\circ}=\tg 10^\circ\cdot\tg 40^\circ.$$

2. $$\frac{\tg^2 1{,}8-\tg^2 1{,}2}{1-\tg^2 1{,}8\,\tg^2 1{,}2}=\frac{\tg 1{,}8-\tg 1{,}2}{1+\tg 1{,}8\,\tg 1{,}2}\cdot\frac{\tg 1{,}8+\tg 1{,}2}{1-\tg 1{,}8\,\tg 1{,}2}.$$

   По формулам тангенса суммы и разности:

   $$\frac{\tg 1{,}8-\tg 1{,}2}{1+\tg 1{,}8\,\tg 1{,}2}=\tg(1{,}8-1{,}2)=\tg 0{,}6,$$

   $$\frac{\tg 1{,}8+\tg 1{,}2}{1-\tg 1{,}8\,\tg 1{,}2}=\tg(1{,}8+1{,}2)=\tg 3.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\tg^2 1{,}8-\tg^2 1{,}2}{1-\tg^2 1{,}8\,\tg^2 1{,}2}=\tg 0{,}6\cdot\tg 3.$$

Ответ

а) $$\tg 10^\circ\cdot\tg 40^\circ$$; б) $$\tg 0{,}6\cdot\tg 3$$.