Упр.1437 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Докажите тождество:

а) $$\frac{\operatorname{tg}(?+?)-\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)\cdot\operatorname{tg}(?+?)}=\operatorname{tg}(?)$$; б) $$\operatorname{tg}(?-?)+\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?-?)=\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)$$.

Подробный ответ

а) Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}.$$

Тогда

$$\frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a\cdot \tg(a+\beta)} = \frac{\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}-\tg a-\tg \beta}{\tg a\cdot \tg(a+\beta)}.$$

Приведём числитель к общему знаменателю:

$$\frac{\tg a+\tg \beta-(\tg a+\tg \beta)(1-\tg a \tg \beta)}{1-\tg a \tg \beta} = \frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a \tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}.$$

Тогда

$$\frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a\cdot \tg(a+\beta)} = \frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a \tg \beta}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a\cdot \tg(a+\beta)}.$$

Так как

$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta},$$

получаем

$$\frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a \tg \beta}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a\cdot \frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}} = \frac{\tg a \tg \beta}{\tg a} = \tg \beta.$$

б) Используем формулу разности тангенсов:

$$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}.$$

Тогда левая часть равенства равна

$$\tg(a-\beta)+\tg a \tg \beta \cdot \tg(a-\beta) = \tg(a-\beta)\bigl(1+\tg a \tg \beta\bigr).$$

Подставим формулу для $$\tg(a-\beta)$$:

$$\tg(a-\beta)\bigl(1+\tg a \tg \beta\bigr) = \frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}\bigl(1+\tg a \tg \beta\bigr) = \tg a-\tg \beta.$$

Тождество доказано.