Упр.1436 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Упростите выражение: а) $$\operatorname{tg}(?+?)-\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?+?)$$; б) $$\operatorname{tg}(?+?)\operatorname{tg}(?-?)(1-\operatorname{tg}^2(?)\operatorname{tg}^2(?))$$.
Используем формулы сложения и вычитания тангенса:
$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}, \qquad \tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}.$$
$$\tg(a+\beta)-\tg a \tg \beta \,\tg(a+\beta)$$
Вынесем общий множитель $$\tg(a+\beta)$$:
$$\tg(a+\beta)\bigl(1-\tg a \tg \beta\bigr)$$
Подставим формулу для $$\tg(a+\beta)$$:
$$\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}\bigl(1-\tg a \tg \beta\bigr)=\tg a+\tg \beta.$$
$$\tg(a+\beta)\tg(a-\beta)\bigl(1-\tg^2 a \tg^2 \beta\bigr)$$
Подставим формулы:
$$\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}\cdot \frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}\cdot \bigl(1-\tg^2 a \tg^2 \beta\bigr).$$
Перемножим первые два множителя:
$$\frac{(\tg a+\tg \beta)(\tg a-\tg \beta)}{(1-\tg a \tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)} \cdot \bigl(1-\tg^2 a \tg^2 \beta\bigr).$$
Так как
$$(\tg a+\tg \beta)(\tg a-\tg \beta)=\tg^2 a-\tg^2 \beta,$$
а
$$(1-\tg a \tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)=1-\tg^2 a \tg^2 \beta,$$
то получаем:
$$\frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a \tg^2 \beta}\cdot \bigl(1-\tg^2 a \tg^2 \beta\bigr)=\tg^2 a-\tg^2 \beta.$$
Ответ
а) $$\tg a+\tg \beta$$
б) $$\tg^2 a-\tg^2 \beta$$
