Упр.1434 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg(15°); б) tg(75°); в) tg(105°).

Используем формулы сложения для тангенса:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

1. $$\tg 15^\circ=\tg(45^\circ-30^\circ)=\frac{\tg45^\circ-\tg30^\circ}{1+\tg45^\circ\cdot\tg30^\circ}$$

   $$\tg 15^\circ=\frac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+1\cdot\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}=\frac{(3-\sqrt3)^2}{9-3}=2-\sqrt3.$$

2. $$\tg 75^\circ=\tg(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tg45^\circ+\tg30^\circ}{1-\tg45^\circ\cdot\tg30^\circ}$$

   $$\tg 75^\circ=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-1\cdot\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\frac{(3+\sqrt3)^2}{9-3}=2+\sqrt3.$$

3. $$\tg 105^\circ=\tg(60^\circ+45^\circ)=\frac{\tg60^\circ+\tg45^\circ}{1-\tg60^\circ\cdot\tg45^\circ}$$

   $$\tg 105^\circ=\frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=\frac{(\sqrt3+1)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}=\frac{4+2\sqrt3}{-2}=-2-\sqrt3.$$

Ответ

$$\tg 15^\circ=2-\sqrt3,\quad \tg 75^\circ=2+\sqrt3,\quad \tg 105^\circ=-2-\sqrt3.$$