Упр.1432 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выразите $$\sin(?+?+?)$$ и $$\cos(?+?+?)$$ через тригонометрические функции углов ?, ? и ?.

Используем формулы сложения:

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$$

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$$

Тогда

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin(\alpha+\beta)\cos\gamma+\cos(\alpha+\beta)\sin\gamma.$$

Подставим формулы для суммы $$\alpha+\beta$$:

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma) =(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\cos\gamma +(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\sin\gamma.$$

Раскроем скобки:

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma) =\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$

Аналогично

$$\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos(\alpha+\beta)\cos\gamma-\sin(\alpha+\beta)\sin\gamma.$$

Подставим:

$$\cos(\alpha+\beta+\gamma) =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma -(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\sin\gamma.$$

Раскроем скобки:

$$\cos(\alpha+\beta+\gamma) =\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$

Ответ

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma) =\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma;$$

$$\cos(\alpha+\beta+\gamma) =\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$