Упр.1432 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1432. Выразите sin(?+?+?0 и cos(?+?+?) через тригонометрические функции углов ?, ? и ?.

Используем формулы сложения:

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$$

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$$

Тогда

$$ \sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin(\alpha+\beta)\cos\gamma+\cos(\alpha+\beta)\sin\gamma. $$

Подставим формулы для суммы $$\alpha+\beta$$:

$$ \sin(\alpha+\beta+\gamma) =(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\cos\gamma +(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\sin\gamma. $$

Раскроем скобки:

$$ \sin(\alpha+\beta+\gamma) =\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$

Аналогично

$$ \cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos(\alpha+\beta)\cos\gamma-\sin(\alpha+\beta)\sin\gamma. $$

Подставим:

$$ \cos(\alpha+\beta+\gamma) =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma -(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\sin\gamma. $$

Раскроем скобки:

$$ \cos(\alpha+\beta+\gamma) =\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$

Ответ

$$ \sin(\alpha+\beta+\gamma) =\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma; $$

$$ \cos(\alpha+\beta+\gamma) =\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$