Упр.1431 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1431. Косинусы двух углов треугольника равны 2/3 и 1/3. Найдите косинус третьего угла треугольника.

Пусть два угла треугольника равны $$\beta$$ и $$\gamma$$, тогда

$$\cos \beta=\frac{2}{3}, \qquad \cos \gamma=\frac{1}{3}.$$

Найдём их синусы. Так как углы треугольника острые, то синусы положительны:

$$ \sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}, $$

$$ \sin \gamma=\sqrt{1-\cos^2 \gamma}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}. $$

Третий угол треугольника равен $$\alpha=180^\circ-\beta-\gamma$$, поэтому

$$ \cos \alpha=-\cos(\beta+\gamma)=\sin \beta \sin \gamma-\cos \beta \cos \gamma. $$

Подставим найденные значения:

$$ \cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} =\frac{2\sqrt{10}}{9}-\frac{2}{9} =\frac{2\sqrt{10}-2}{9}. $$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$$