Упр.1431 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Косинусы двух углов треугольника равны $$\frac{2}{3}$$ и $$\frac{1}{3}$$. Найдите косинус третьего угла треугольника.

Пусть два угла треугольника равны $$\beta$$ и $$\gamma$$, тогда

$$\cos \beta=\frac{2}{3}, \qquad \cos \gamma=\frac{1}{3}.$$

Найдём их синусы. Так как углы треугольника острые, то синусы положительны:

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3},$$

$$\sin \gamma=\sqrt{1-\cos^2 \gamma}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Третий угол треугольника равен $$\alpha=180^\circ-\beta-\gamma$$, поэтому

$$\cos \alpha=-\cos(\beta+\gamma)=\sin \beta \sin \gamma-\cos \beta \cos \gamma.$$

Подставим найденные значения:

$$\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} =\frac{2\sqrt{10}}{9}-\frac{2}{9} =\frac{2\sqrt{10}-2}{9}.$$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$$