Упр.1430 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Синусы двух острых углов треугольника равны $$\frac{3}{5}$$ и $$\frac{4}{5}$$. Найдите синус третьего угла треугольника.

Пусть два острых угла треугольника равны $$\beta$$ и $$\gamma$$, тогда

$$\sin \beta=\frac{3}{5}, \qquad \sin \gamma=\frac{4}{5}.$$

Так как углы острые, их косинусы положительны:

$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},$$

$$\cos \gamma=\sqrt{1-\sin^2\gamma}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Третий угол треугольника равен $$\alpha=180^\circ-(\beta+\gamma)$$, поэтому

$$\sin \alpha=\sin(\beta+\gamma)=\sin \beta \cos \gamma+\cos \beta \sin \gamma.$$

Подставим значения:

$$\sin \alpha=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.$$

Ответ

$$1$$