Упр.1429 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$?$$, $$?$$ и $$?$$ — углы треугольника, то:
   а) $$\sin(?)=\sin(?)\sin(?)+\cos(?)\sin(?)$$;
   б) $$\cos(?)=\sin(?)\sin(?)-\cos(?)\cos(?)$$.

Пусть $$\alpha, \beta, \gamma$$ — углы треугольника. Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$

откуда

$$\beta+\gamma=\pi-\alpha.$$

а) Используем формулу суммы синусов и косинусов:

$$\sin(\beta+\gamma)=\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma.$$

Так как $$\beta+\gamma=\pi-\alpha,$$ то

$$\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)=\sin(\beta+\gamma).$$

Следовательно,

$$\sin\alpha=\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma.$$

б) Аналогично, по формуле косинуса суммы:

$$\cos(\beta+\gamma)=\cos\beta\cos\gamma-\sin\beta\sin\gamma.$$

Но

$$\cos\alpha=\cos(\pi-(\beta+\gamma))=-\cos(\beta+\gamma).$$

Тогда

$$\cos\alpha=-(\cos\beta\cos\gamma-\sin\beta\sin\gamma)=\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma.$$

Ответ

$$\sin\alpha=\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma,$$

$$\cos\alpha=\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma.$$