Упр.1428 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\cos(?)\cos(?+?)-\cos(?)\cos(?+?)=\sin(?)\sin(?-?)$$;
   б) $$\sin(?-?)\sin(?)+\sin(?-?)\sin(?)=\sin(?-?)\sin(?)$$.

а) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы:

$$\cos a \cos(\beta+\gamma)-\cos\beta \cos(a+\gamma)=$$
$$=\cos a(\cos\beta \cos\gamma-\sin\beta \sin\gamma)-\cos\beta(\cos a \cos\gamma-\sin a \sin\gamma)$$
$$=\cos a \cos\beta \cos\gamma-\cos a \sin\beta \sin\gamma-\cos\beta \cos a \cos\gamma+\cos\beta \sin a \sin\gamma$$
$$=-\cos a \sin\beta \sin\gamma+\cos\beta \sin a \sin\gamma$$
$$=\sin\gamma(\sin a \cos\beta-\cos a \sin\beta) =\sin\gamma \sin(a-\beta).$$

Следовательно, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности:

$$\sin(a-\beta)\sin\gamma+\sin(\beta-\gamma)\sin a=$$
$$=(\sin a \cos\beta-\sin\beta \cos a)\sin\gamma+(\sin\beta \cos\gamma-\sin\gamma \cos\beta)\sin a$$
$$=\sin a \cos\beta \sin\gamma-\sin\beta \cos a \sin\gamma+\sin\beta \cos\gamma \sin a-\sin\gamma \cos\beta \sin a$$
$$=-\sin\beta \cos a \sin\gamma+\sin\beta \sin a \cos\gamma$$
$$=\sin\beta(\sin a \cos\gamma-\cos a \sin\gamma) =\sin\beta \sin(a-\gamma).$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos a \cos(\beta+\gamma)-\cos\beta \cos(a+\gamma)=\sin\gamma \sin(a-\beta)$$

б) $$\sin(a-\beta)\sin\gamma+\sin(\beta-\gamma)\sin a=\sin\beta \sin(a-\gamma)$$