Упр.1428 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos(?)cos(?+?)-cos(?)cos(?+?)=sin(?)sin(?-?);
б) sin(?-?)sin(?)+sin(?-?)sin(?)=sin(?-?)sin(?).

а) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы:

$$ \cos a \cos(\beta+\gamma)-\cos\beta \cos(a+\gamma)= $$
$$ =\cos a(\cos\beta \cos\gamma-\sin\beta \sin\gamma)-\cos\beta(\cos a \cos\gamma-\sin a \sin\gamma) $$
$$ =\cos a \cos\beta \cos\gamma-\cos a \sin\beta \sin\gamma-\cos\beta \cos a \cos\gamma+\cos\beta \sin a \sin\gamma $$
$$ =-\cos a \sin\beta \sin\gamma+\cos\beta \sin a \sin\gamma $$
$$ =\sin\gamma(\sin a \cos\beta-\cos a \sin\beta) =\sin\gamma \sin(a-\beta). $$

Следовательно, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности:

$$ \sin(a-\beta)\sin\gamma+\sin(\beta-\gamma)\sin a= $$
$$ =(\sin a \cos\beta-\sin\beta \cos a)\sin\gamma+(\sin\beta \cos\gamma-\sin\gamma \cos\beta)\sin a $$
$$ =\sin a \cos\beta \sin\gamma-\sin\beta \cos a \sin\gamma+\sin\beta \cos\gamma \sin a-\sin\gamma \cos\beta \sin a $$
$$ =-\sin\beta \cos a \sin\gamma+\sin\beta \sin a \cos\gamma $$
$$ =\sin\beta(\sin a \cos\gamma-\cos a \sin\gamma) =\sin\beta \sin(a-\gamma). $$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos a \cos(\beta+\gamma)-\cos\beta \cos(a+\gamma)=\sin\gamma \sin(a-\beta)$$

б) $$\sin(a-\beta)\sin\gamma+\sin(\beta-\gamma)\sin a=\sin\beta \sin(a-\gamma)$$