Упр.1427 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (sin(?+?)-sin(?-?))/(sin(?+?)+sin(?-?));
б) (cos(?+?)+cos(?-?))/(cos(?+?)-cos(?-?));
в) (sin(?+?)+sin(?-?))/(cos(?+?)+cos(?-?));
г) (cos(?+?)-cos(?-?))/(sin(?+?)-sin(?-?)).

Используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:

$$ \sin(a\pm \beta)=\sin a\cos \beta \pm \cos a\sin \beta, $$
$$ \cos(a\pm \beta)=\cos a\cos \beta \mp \sin a\sin \beta. $$

1. $$ \frac{\sin(a+\beta)-\sin(a-\beta)}{\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)} $$
   $$ =\frac{(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)-(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)} {(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)+(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)} $$
   $$ =\frac{2\cos a\sin \beta}{2\sin a\cos \beta} =\ctg a\cdot \tg \beta. $$

2. $$ \frac{\cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)}{\cos(a+\beta)-\cos(a-\beta)} $$
   $$ =\frac{(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)+(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)} {(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)-(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)} $$
   $$ =\frac{2\cos a\cos \beta}{-2\sin a\sin \beta} =-\ctg a\cdot \ctg \beta. $$

3. $$ \frac{\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)}{\cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)} $$
   $$ =\frac{(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)+(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)} {(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)+(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)} $$
   $$ =\frac{2\sin a\cos \beta}{2\cos a\cos \beta} =\tg a. $$

4. $$ \frac{\cos(a+\beta)-\cos(a-\beta)}{\sin(a+\beta)-\sin(a-\beta)} $$
   $$ =\frac{(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)-(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta)} {(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)-(\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta)} $$
   $$ =\frac{-2\sin a\sin \beta}{2\cos a\sin \beta} =-\tg a. $$

Ответ

а) $$\ctg a\cdot \tg \beta$$; б) $$-\ctg a\cdot \ctg \beta$$; в) $$\tg a$$; г) $$-\tg a$$.