Упр.1426 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) cos(?+?)+cos(?-?)=2cos(?)cos(?);
б) sin(?+?)+sin(?-?)=2sin(?)cos(?);
в) sin(?+?)sin(?-?)=sin^2(?)-sin^2(?);
г) cos(?+?)cos(?-?)=cos^2(?)-sin^2(?);
д) cos(?-?)-cos(?+?)=2sin(?)sin(?).

1. Докажем тождество

   $$\cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)=2\cos a\cos\beta.$$

   Раскроем косинусы суммы и разности:

   $$ \cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)+(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta) $$
   $$ =2\cos a\cos\beta. $$

2. Докажем тождество

   $$\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)=2\sin a\cos\beta.$$

   $$ \sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)= (\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)+(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta) $$
   $$ =2\sin a\cos\beta. $$

3. Докажем тождество

   $$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)=\sin^2 a-\sin^2\beta.$$

   $$ \sin(a+\beta)\sin(a-\beta)= (\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta) $$
   $$ =\sin^2 a\cos^2\beta-\cos^2 a\sin^2\beta $$
   $$ =\sin^2 a(1-\sin^2\beta)-\sin^2\beta(1-\sin^2 a) $$
   $$ =\sin^2 a-\sin^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2 a\sin^2\beta =\sin^2 a-\sin^2\beta. $$

4. Докажем тождество

   $$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\cos^2 a-\sin^2\beta.$$

   $$ \cos(a+\beta)\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta) $$
   $$ =\cos^2 a\cos^2\beta-\sin^2 a\sin^2\beta $$
   $$ =\cos^2 a(1-\sin^2\beta)-(1-\cos^2 a)\sin^2\beta $$
   $$ =\cos^2 a-\cos^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2 a\sin^2\beta =\cos^2 a-\sin^2\beta. $$

5. Докажем тождество

   $$\cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)=2\sin a\sin\beta.$$

   $$ \cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)= (\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)-(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta) $$
   $$ =2\sin a\sin\beta. $$

Ответ

Все тождества доказаны.