Упр.1426 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Зная, что $$\sin(?) + \cos(?) = a$$, найдите:
а) $$\frac{1+\cos(2?)}{\operatorname{ctg}(?/2)-\operatorname{tg}(?/2)}$$;
б) $$\sin^6(?) + \cos^6(?)$$. - Докажите тождество:
а) $$\cos(?+?) + \cos(?-?) = 2\cos(?)\cos(?)$$;
б) $$\sin(?+?) + \sin(?-?) = 2\sin(?)\cos(?)$$;
в) $$\sin(?+?)\sin(?-?) = \sin^2(?) — \sin^2(?)$$;
г) $$\cos(?+?)\cos(?-?) = \cos^2(?) — \sin^2(?)$$;
д) $$\cos(?-?) — \cos(?+?) = 2\sin(?)\sin(?)$$.
Докажем тождество
$$\cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)=2\cos a\cos\beta.$$
Раскроем косинусы суммы и разности:
$$\cos(a+\beta)+\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)+(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)$$
$$=2\cos a\cos\beta.$$Докажем тождество
$$\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)=2\sin a\cos\beta.$$
$$\sin(a+\beta)+\sin(a-\beta)= (\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)+(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)$$
$$=2\sin a\cos\beta.$$Докажем тождество
$$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)=\sin^2 a-\sin^2\beta.$$
$$\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)= (\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta)(\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta)$$
$$=\sin^2 a\cos^2\beta-\cos^2 a\sin^2\beta$$
$$=\sin^2 a(1-\sin^2\beta)-\sin^2\beta(1-\sin^2 a)$$
$$=\sin^2 a-\sin^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2 a\sin^2\beta =\sin^2 a-\sin^2\beta.$$Докажем тождество
$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\cos^2 a-\sin^2\beta.$$
$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)= (\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)(\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)$$
$$=\cos^2 a\cos^2\beta-\sin^2 a\sin^2\beta$$
$$=\cos^2 a(1-\sin^2\beta)-(1-\cos^2 a)\sin^2\beta$$
$$=\cos^2 a-\cos^2 a\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2 a\sin^2\beta =\cos^2 a-\sin^2\beta.$$Докажем тождество
$$\cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)=2\sin a\sin\beta.$$
$$\cos(a-\beta)-\cos(a+\beta)= (\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta)-(\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta)$$
$$=2\sin a\sin\beta.$$
Ответ
Все тождества доказаны.
