Упр.1424 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(?+?)+sin(-?)cos(?)=cos(?)sin(?);
б) cos(?-?)-sin(-?)sin(-?)=cos(?)sin(?);
в) sin(?-?)-cos(-?)sin(-?)=sin(?)cos(?);
г) cos(?+?)-cos(-?)cos(-?)=-sin(?)sin(?).

1. а) Используем формулы приведения:

   $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha.$$

   Тогда

   $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta.$$

   Тождество доказано.

2. б) Используем формулы:

   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$

   $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \sin(-\beta)=-\sin\beta.$$

   Тогда

   $$\cos(\alpha-\beta)-\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.$$

   Тождество доказано.

3. в) Используем формулы:

   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

   $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\beta)=-\sin\beta.$$

   Тогда

   $$\sin(\alpha-\beta)-\cos(-\alpha)\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta.$$

   Тождество доказано.

4. г) Используем формулы:

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$

   $$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \cos(-\beta)=\cos\beta.$$

   Тогда

   $$\cos(\alpha+\beta)-\cos(-\alpha)\cos(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=-\sin\alpha\sin\beta.$$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(-\alpha)\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta$$; б) $$\cos(\alpha-\beta)-\sin(-\alpha)\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta$$; в) $$\sin(\alpha-\beta)-\cos(-\alpha)\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta$$; г) $$\cos(\alpha+\beta)-\cos(-\alpha)\cos(-\beta)=-\sin\alpha\sin\beta$$.