Упр.1422 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что если $$?$$, $$?$$, $$?$$ — углы треугольника, причём $$?$$ — тупой угол, то произведение тангенсов углов $$?$$ и $$?$$ меньше 1.
- Вычислите:
а) $$\cos\left(\frac{8?}{15}\right)\cos\left(\frac{?}{5}\right)+\sin\left(\frac{8?}{15}\right)\sin\left(\frac{?}{5}\right)$$;
б) $$\cos\left(\frac{?}{10}\right)\cos\left(\frac{2?}{5}\right)-\sin\left(\frac{?}{10}\right)\sin\left(\frac{2?}{5}\right)$$;
в) $$\sin\left(\frac{?}{6}\right)\cos\left(\frac{?}{12}\right)+\cos\left(\frac{?}{6}\right)\sin\left(\frac{?}{12}\right)$$;
г) $$\sin\left(\frac{1?}{9}\right)\cos\left(\frac{4?}{9}\right)-\cos\left(\frac{1?}{9}\right)\sin\left(\frac{4?}{9}\right)$$.
Используем формулы:
$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta).$$
а)
$$\cos \frac{8\pi}{15}\cos \frac{\pi}{5}+\sin \frac{8\pi}{15}\sin \frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{8\pi}{15}-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{8\pi}{15}-\frac{3\pi}{15}\right)=\cos \frac{\pi}{3}=\frac12.$$
б)
$$\cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{2\pi}{5}-\sin \frac{\pi}{10}\sin \frac{2\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}\right)=\cos \frac{\pi}{2}=0.$$
в)
$$\sin \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\right)=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
г)
$$\sin \frac{\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}-\cos \frac{\pi}{9}\sin \frac{4\pi}{9}=\sin\left(\frac{\pi}{9}-\frac{4\pi}{9}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Ответ
а) $$\frac12$$; б) $$0$$; в) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$-\frac{\sqrt3}{2}$$.
