Упр.1420 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$, большем 2, верно неравенство $$\sqrt[n]{n!}>\sqrt{n}$$.
2. Упростите выражение:
   а) $$\sin(?+?)-\sin(?)\cos(?)$$;
   в) $$\cos(?-?)-\cos(?)\cos(?)$$;
   в) $$\sin(?)\sin(?)+\cos(?+?)$$;
   г) $$\cos(?)\sin(?)+\sin(?-?)$$.

Используем формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta,$$
$$\cos(a+\beta)=\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta,$$
$$\cos(a-\beta)=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta,$$
$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta.$$

1. $$\sin(a+\beta)-\sin\beta\cos a$$
   $$=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta-\sin\beta\cos a$$
   $$=\sin a\cos\beta.$$

2. $$\sin a\sin\beta+\cos(a+\beta)$$
   $$=\sin a\sin\beta+\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta$$
   $$=\cos a\cos\beta.$$

3. $$\cos(a-\beta)-\cos a\cos\beta$$
   $$=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta-\cos a\cos\beta$$
   $$=\sin a\sin\beta.$$

4. $$\cos a\sin\beta+\sin(a-\beta)$$
   $$=\cos a\sin\beta+\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta$$
   $$=\sin a\cos\beta.$$

Ответ

а) $$\sin a\cos\beta$$; б) $$\cos a\cos\beta$$; в) $$\sin a\sin\beta$$; г) $$\sin a\cos\beta$$.