Упр.1419 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(?/4+?); в) sin(?/3-?); д) sin(?/6+?);
б) cos(?/4-?); г) cos(?/3+?); е) cos(?/6-?).

1. Используем формулы сложения и вычитания:

   $$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$

   $$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta.$$

2. а)

   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a+\cos\frac{\pi}{4}\sin a$$

   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a).$$

3. б)

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$

   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a).$$

4. в)

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos a-\cos\frac{\pi}{3}\sin a$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a=\frac12(\sqrt3\cos a-\sin a).$$

5. г)

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a$$

   $$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12(\cos a-\sqrt3\sin a).$$

6. д)

   $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos a+\cos\frac{\pi}{6}\sin a$$

   $$=\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12(\cos a+\sqrt3\sin a).$$

7. е)

   $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos a+\sin\frac{\pi}{6}\sin a$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a=\frac12(\sqrt3\cos a+\sin a).$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a)$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a)$$; в) $$\frac12(\sqrt3\cos a-\sin a)$$; г) $$\frac12(\cos a-\sqrt3\sin a)$$; д) $$\frac12(\cos a+\sqrt3\sin a)$$; е) $$\frac12(\sqrt3\cos a+\sin a)$$.