Упр.1419 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что при любом натуральном $$n$$ верно неравенство $$\frac{1}{2}<\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n}<1$$.
- Выразите через тригонометрические функции угла $$?$$:
а) $$\sin\left(\frac{?}{4}+?\right)$$;
в) $$\sin\left(\frac{?}{3}-?\right)$$;
д) $$\sin\left(\frac{?}{6}+?\right)$$;
б) $$\cos\left(\frac{?}{4}-?\right)$$;
г) $$\cos\left(\frac{?}{3}+?\right)$$;
е) $$\cos\left(\frac{?}{6}-?\right)$$.
Используем формулы сложения и вычитания:
$$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta.$$
а)
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a+\cos\frac{\pi}{4}\sin a$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a).$$
б)
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a).$$
в)
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos a-\cos\frac{\pi}{3}\sin a$$
$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a-\frac12\sin a=\frac12(\sqrt3\cos a-\sin a).$$
г)
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a$$
$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12(\cos a-\sqrt3\sin a).$$
д)
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos a+\cos\frac{\pi}{6}\sin a$$
$$=\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12(\cos a+\sqrt3\sin a).$$
е)
$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos a+\sin\frac{\pi}{6}\sin a$$
$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a=\frac12(\sqrt3\cos a+\sin a).$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a)$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}(\sin a+\cos a)$$; в) $$\frac12(\sqrt3\cos a-\sin a)$$; г) $$\frac12(\cos a-\sqrt3\sin a)$$; д) $$\frac12(\cos a+\sqrt3\sin a)$$; е) $$\frac12(\sqrt3\cos a+\sin a)$$.
