Упр.1418 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(15°); б) cos(15°); в) sin(105°).

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)$$

   $$=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ$$

   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12$$

   $$=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

2. $$\cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)$$

   $$=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ$$

   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12$$

   $$=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

3. $$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)$$

   $$=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ$$

   $$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$; б) $$\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$.