Упр.1417 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) sin(?+?); б) sin(?-?); в) cos(?+?); г) cos(?-?).

Так как углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ лежат в I четверти, то их синусы и косинусы положительны.

Найдём недостающие значения:

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},$$
$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Используем формулы сложения и вычитания:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{3+8\sqrt2}{15},$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}-\frac{4}{5}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{3-8\sqrt2}{15},$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}-\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{4-6\sqrt2}{15},$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =\frac{4+6\sqrt2}{15}.$$

Ответ

а) $$\frac{3+8\sqrt2}{15}$$; б) $$\frac{3-8\sqrt2}{15}$$; в) $$\frac{4-6\sqrt2}{15}$$; г) $$\frac{4+6\sqrt2}{15}$$.