Упр.1416 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1416. Решите уравнение v(x^2+3x+46)+20/v(x^2+3x+46)=12.

Обозначим

$$y=\sqrt{x^2+3x+46}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y+\frac{20}{y}=12.$$

Так как $$y>0,$$ умножим обе части на $$y$$:

$$y^2-12y+20=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 20=144-80=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=10.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\sqrt{x^2+3x+46}=2.$$ Тогда

$$x^2+3x+46=4,$$

$$x^2+3x+42=0.$$

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 42=9-168=-159<0.$$

Значит, действительных корней нет.

2) $$\sqrt{x^2+3x+46}=10.$$ Тогда

$$x^2+3x+46=100,$$

$$x^2+3x-54=0.$$

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-54)=9+216=225.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-9,\qquad x_2=6.$$

Ответ

$$-9;\ 6.$$