Упр.1416 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите относительно $$x$$ уравнение:
   а) $$x-3\sqrt[3]{x}=a^3+\frac{1}{a^3}$$, где $$a\ne0$$;
   б) $$\sqrt[3]{(a+x)^2}-15\sqrt[3]{(a-x)^2}-2\sqrt[3]{a^2-x^2}=0$$.
2. Решите уравнение $$\sqrt{x^2+3x+46}+\frac{20}{\sqrt{x^2+3x+46}}=12$$.

Обозначим

$$y=\sqrt{x^2+3x+46}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y+\frac{20}{y}=12.$$

Так как $$y>0,$$ умножим обе части на $$y$$:

$$y^2-12y+20=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 20=144-80=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=2,\qquad y_2=10.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\sqrt{x^2+3x+46}=2.$$ Тогда

$$x^2+3x+46=4,$$

$$x^2+3x+42=0.$$

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 42=9-168=-159<0.$$

Значит, действительных корней нет.

2) $$\sqrt{x^2+3x+46}=10.$$ Тогда

$$x^2+3x+46=100,$$

$$x^2+3x-54=0.$$

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-54)=9+216=225.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-9,\qquad x_2=6.$$

Ответ

$$-9;\ 6.$$