Упр.1414 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1414. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию: $$a,\; b,\; c,$$ где $$c$$ — гипотенуза.

Тогда по теореме Пифагора

$$c^2=a^2+b^2.$$

Для геометрической прогрессии средний член в квадрате равен произведению соседних:

$$b^2=ac.$$

Подставим $$c=\sqrt{a^2+b^2}$$:

$$b^2=a\sqrt{a^2+b^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$b^4=a^2(a^2+b^2).$$

Получаем

$$b^4=a^4+a^2b^2,$$

или

$$a^4+a^2b^2-b^4=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$a^2$$:

$$D=b^4+4b^4=5b^4.$$

Тогда

$$a^2=\frac{-b^2+b^2\sqrt5}{2}=b^2\cdot\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Следовательно, такие стороны существуют, значит, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию.

Ответ

Да, могут.