Упр.1413 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$x^3-3x$$ при $$x=\frac{1}{(\sqrt{2}-1)^{1/3}}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{1/3}}$$.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:
   а) $$2\sin^2(?) — 3\cos(?)$$;
   б) $$3\cos^2(?) + 2\sin(?)$$.

а) Пусть $$y=2\sin^2 a-3\cos a.$$

Так как $$\sin^2 a=1-\cos^2 a,$$ получаем

$$y=2(1-\cos^2 a)-3\cos a=-2\cos^2 a-3\cos a+2.$$

Обозначим $$x=\cos a,$$ тогда $$x\in[-1;1]$$ и

$$y=-2x^2-3x+2.$$

Это парабола, ветви направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot(-2)}=-\frac34.$$

Тогда

$$y\left(-\frac34\right)=-2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\left(-\frac34\right)+2 =-\frac98+\frac94+2=\frac{25}{8}.$$

Наименьшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ проверим на концах:

$$y(-1)=-2\cdot1-3\cdot(-1)+2=3,$$

$$y(1)=-2-3+2=-3.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{25}{8},$$ а наименьшее — $$-3.$$

б) Пусть $$y=3\cos^2 a+2\sin a.$$

Так как $$\cos^2 a=1-\sin^2 a,$$ получаем

$$y=3(1-\sin^2 a)+2\sin a=-3\sin^2 a+2\sin a+3.$$

Обозначим $$x=\sin a,$$ тогда $$x\in[-1;1]$$ и

$$y=-3x^2+2x+3.$$

Парабола направлена вниз, вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-3)}=\frac13.$$

Тогда

$$y\left(\frac13\right)=-3\cdot\frac19+2\cdot\frac13+3 =-\frac13+\frac23+3=\frac{10}{3}.$$

Проверим значения на концах отрезка:

$$y(-1)=-3-2+3=-2,$$

$$y(1)=-3+2+3=2.$$

Значит, наибольшее значение равно $$\frac{10}{3},$$ а наименьшее — $$-2.$$

Ответ

а) наибольшее $$\frac{25}{8},$$ наименьшее $$-3$$; б) наибольшее $$\frac{10}{3},$$ наименьшее $$-2$$.