Упр.1412 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$, большем 1, верно неравенство $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}$$.
2. Докажите неравенство:
   а) $$\sin^2(?)\cos^2(?)?\frac{1}{4}$$;
   б) $$\sin^4(?)+\cos^4(?)?\frac{1}{2}$$.

а) Рассмотрим выражение

$$\left(\sin^2 a-\cos^2 a\right)^2 \ge 0.$$

Раскроем квадрат:

$$\sin^4 a-2\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a \ge 0.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$\left(\sin^2 a+\cos^2 a\right)^2-4\sin^2 a\cos^2 a \ge 0,$$

$$1-4\sin^2 a\cos^2 a \ge 0,$$

$$\sin^2 a\cos^2 a \le \frac14.$$

Неравенство доказано.

б) Используем тождество

$$\sin^4 a+\cos^4 a=\left(\sin^2 a+\cos^2 a\right)^2-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Тогда

$$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

Из пункта а) имеем

$$\sin^2 a\cos^2 a \le \frac14,$$

значит

$$1-2\sin^2 a\cos^2 a \ge 1-2\cdot\frac14=\frac12.$$

Следовательно,

$$\sin^4 a+\cos^4 a \ge \frac12.$$

Неравенство доказано.

Ответ

а) $$\sin^2 a\cos^2 a \le \frac14$$; б) $$\sin^4 a+\cos^4 a \ge \frac12$$.