Упр.1411 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Докажите, что если $$n\in\mathbb{N}$$ и $$n>2$$, то верно неравенство $$2^{\frac{n(n-1)}{2}}>n!$$.
Упростите выражение:

а) $$\frac{\sin(?-?/4)}{\sin(?+?/4)}\operatorname{ctg}(?-5?/4)-\cos(?/2+?)\sin(?-?)$$;

б) $$\frac{\operatorname{tg}(1,5?-x)-\cos(?-x)\sin(3?+x)}{\left(\cos(3,5?-x)+\sin(1,5?+x)\right)^2-1}$$.

Подробный ответ

а)

$$\frac{\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot \ctg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\sin(a-\pi)$$

Используем формулы приведения:
$$\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right), \qquad \ctg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right),$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\sin a, \qquad \sin(a-\pi)=-\sin a.$$
Тогда
$$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-(-\sin a)(-\sin a).$$
Так как
$$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}=\ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right),$$
получаем
$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\sin^2 a=1-\sin^2 a=\cos^2 a.$$

б)

$$\frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)-\cos(\pi-x)\sin(3\pi+x)} {\left(\cos\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\right)^2-1}$$

Приведём тригонометрические функции:
$$\tg\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\ctg x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(3\pi+x)=-\sin x,$$
$$\cos\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x.$$
Тогда числитель:
$$\ctg x-(-\cos x)(-\sin x)=\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x\cos x =\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right).$$
Знаменатель:
$$(\sin x-\cos x)^2-1=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x-1=-2\sin x\cos x.$$
Следовательно,
$$\frac{\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)}{-2\sin x\cos x} = \frac{\cos x\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin x}}{-2\sin x\cos x} = \frac{\cos x\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin x}}{-2\sin x\cos x}.$$
После сокращения получаем
$$\frac{1}{2}\ctg^2 x.$$