Упр.1411 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) sin(?-?/4)/sin(?+?/4) ctg(?-5?/4)-cos(?/2+?)sin(?-?);
б) (tg(1,5?-x)-cos(?-x)sin(3?+x))/((cos(3,5?-x)+sin(1,5?+x))^2-1).

Подробный ответ

а)

$$ \frac{\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot \ctg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\sin(a-\pi) $$

Используем формулы приведения:
$$ \sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right), \qquad \ctg\left(a-\frac{5\pi}{4}\right)=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right), $$
$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\sin a, \qquad \sin(a-\pi)=-\sin a. $$
Тогда
$$ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-(-\sin a)(-\sin a). $$
Так как
$$ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}=\ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right), $$
получаем
$$ \ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\sin^2 a=1-\sin^2 a=\cos^2 a. $$

б)

$$ \frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)-\cos(\pi-x)\sin(3\pi+x)} {\left(\cos\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\right)^2-1} $$

Приведём тригонометрические функции:
$$ \tg\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\ctg x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(3\pi+x)=-\sin x, $$
$$ \cos\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x. $$
Тогда числитель:
$$ \ctg x-(-\cos x)(-\sin x)=\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x\cos x =\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right). $$
Знаменатель:
$$ (\sin x-\cos x)^2-1=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x-1=-2\sin x\cos x. $$
Следовательно,
$$ \frac{\cos x\left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)}{-2\sin x\cos x} = \frac{\cos x\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin x}}{-2\sin x\cos x} = \frac{\cos x\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin x}}{-2\sin x\cos x}. $$
После сокращения получаем
$$ \frac{1}{2}\ctg^2 x. $$