Упр.1410 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Последовательность натуральных чисел разбита на группы (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), … . Найдите сумму чисел $$n$$-й группы.
2. Исключите переменную ? из системы:
   а) $$\begin{cases} x=\sin(?)+\cos(?) \\ y=\sin(?)\cos(?) \end{cases}$$;
   б) $$\begin{cases} \operatorname{tg}^4(?)+\operatorname{ctg}^4(?)=x \\ \operatorname{tg}^2(?)+\operatorname{ctg}^2(?)=y \end{cases}$$.

а) Дано:

$$x=\sin \varphi+\cos \varphi,$$

$$y=\sin \varphi \cos \varphi.$$

Возведём первое уравнение в квадрат:

$$x^2=(\sin \varphi+\cos \varphi)^2=\sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi+2\sin \varphi \cos \varphi.$$

Так как $$\sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi=1,$$ а $$\sin \varphi \cos \varphi=y,$$ получаем:

$$x^2=1+2y.$$

б) Дано:

$$\tg^4 \varphi+\ctg^4 \varphi=x,$$

$$\tg^2 \varphi+\ctg^2 \varphi=y.$$

Возведём второе уравнение в квадрат:

$$y^2=(\tg^2 \varphi+\ctg^2 \varphi)^2=\tg^4 \varphi+\ctg^4 \varphi+2\tg^2 \varphi \ctg^2 \varphi.$$

Так как $$\tg \varphi \cdot \ctg \varphi=1,$$ то

$$\tg^2 \varphi \ctg^2 \varphi=1.$$

Следовательно,

$$y^2=x+2.$$

Ответ

а) $$x^2=1+2y$$; б) $$y^2=x+2$$.