Упр.1409 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В бесконечной геометрической прогрессии выделяют по порядку от её начала группы по $$n$$ членов. Докажите, что суммы членов этих групп образуют геометрическую прогрессию.
2. Упростите выражение:
   а) $$\sqrt{\frac{1-\cos(?)}{1+\cos(?)}}+\sqrt{\frac{1+\cos(?)}{1-\cos(?)}}$$;
   б) $$\sqrt{\frac{1-\sin(?)}{1+\sin(?)}}+\sqrt{\frac{1+\sin(?)}{1-\sin(?)}}$$.

а)

$$\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}+\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}} = \frac{1-\cos a}{\sqrt{(1+\cos a)(1-\cos a)}}+\frac{1+\cos a}{\sqrt{(1-\cos a)(1+\cos a)}}$$

$$= \frac{1-\cos a+1+\cos a}{\sqrt{1-\cos^2 a}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 a}} = \frac{2}{|\sin a|}$$

б)

$$\sqrt{\frac{1-\sin a}{1+\sin a}}+\sqrt{\frac{1+\sin a}{1-\sin a}} = \frac{1-\sin a}{\sqrt{(1+\sin a)(1-\sin a)}}+\frac{1+\sin a}{\sqrt{(1-\sin a)(1+\sin a)}}$$

$$= \frac{1-\sin a+1+\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 a}} = \frac{2}{|\cos a|}$$

Ответ

а) $$\frac{2}{|\sin a|}$$; б) $$\frac{2}{|\cos a|}$$.