Упр.1408 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Последовательности $$(x_n)$$ и $$(y_n)$$ заданы формулами $$x_n=2n-1$$, $$y_n=n^2$$. Если выписать в порядке возрастания все общие члены этих последовательностей, то получится последовательность $$(z_n)$$. Запишите формулу $$n$$-го члена последовательности $$(z_n)$$.
2. Найдите:
   а) $$\operatorname{tg}^2(?) + \operatorname{ctg}^2(?)$$, если $$\operatorname{tg}(?) + \operatorname{ctg}(?)=m$$;
   б) $$\sin^4(?) + \cos^4(?)$$, если $$\sin(?) + \cos(?)=p$$.

а) Используем формулу квадрата суммы:

$$(\tg a+\ctg a)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot \ctg a+\ctg^2 a$$

Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1,$$ то

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=(\tg a+\ctg a)^2-2\tg a\cdot \ctg a=m^2-2.$$

б) Возведём в квадрат сумму $$\sin a+\cos a$$:

$$(\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=1+2\sin a\cos a.$$

Тогда

$$\sin a\cos a=\frac{p^2-1}{2}.$$

Теперь найдём:

$$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a$$

$$=1-2(\sin a\cos a)^2 =1-2\left(\frac{p^2-1}{2}\right)^2.$$

Упростим:

$$1-2\left(\frac{p^2-1}{2}\right)^2 =1-\frac{(p^2-1)^2}{2} =\frac{1+2p^2-p^4}{2}.$$

Ответ

а) $$m^2-2$$; б) $$\frac{1+2p^2-p^4}{2}$$.