Упр.1408 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg^2(?)+ctg^2(?), если tg(?)+ctg(?)=m;
б) sin^4(?)+cos^4(?), если sin(?)+cos(?)=p.

а) Используем формулу квадрата суммы:

$$ (\tg a+\ctg a)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot \ctg a+\ctg^2 a $$

Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1,$$ то

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a=(\tg a+\ctg a)^2-2\tg a\cdot \ctg a=m^2-2. $$

б) Возведём в квадрат сумму $$\sin a+\cos a$$:

$$ (\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=1+2\sin a\cos a. $$

Тогда

$$ \sin a\cos a=\frac{p^2-1}{2}. $$

Теперь найдём:

$$ \sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a $$

$$ =1-2(\sin a\cos a)^2 =1-2\left(\frac{p^2-1}{2}\right)^2. $$

Упростим:

$$ 1-2\left(\frac{p^2-1}{2}\right)^2 =1-\frac{(p^2-1)^2}{2} =\frac{1+2p^2-p^4}{2}. $$

Ответ

а) $$m^2-2$$; б) $$\frac{1+2p^2-p^4}{2}$$.