Упр.1407 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

б) 1/(1-tg^2(?))+1/(1-ctg^2(?)).

а) Преобразуем выражение:

$$ \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin^4 a-\cos^4 a} = \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a+\cos^2 a)} $$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$ \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{(\sin^2 a-\cos^2 a)\cdot 1}=1. $$

Значение выражения не зависит от $$a$$ и равно $$1$$.

б) Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{1-\tg^2 a}+\frac{1}{1-\ctg^2 a} = \frac{1-\ctg^2 a+1-\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)}. $$

Используем тождество $$\tg^2 a\cdot \ctg^2 a=1$$:

$$ (1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)=1-\tg^2 a-\ctg^2 a+\tg^2 a\cdot \ctg^2 a =2-\tg^2 a-\ctg^2 a. $$

Тогда

$$ \frac{1-\ctg^2 a+1-\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)} = \frac{2-\tg^2 a-\ctg^2 a}{2-\tg^2 a-\ctg^2 a}=1. $$

Следовательно, при всех допустимых значениях $$a$$ выражение также равно $$1$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.