Упр.1407 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите необходимое и достаточное условие того, что квадраты трёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен $$a$$ и разность равна $$d$$, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
- Докажите, что при всех допустимых значениях $$?$$ принимает одно и то же значение выражение:
а) $$\frac{\sin^2(?) — \cos^2(?)}{\sin^4(?) — \cos^4(?)}$$;
б) $$\frac{1}{1-\operatorname{tg}^2(?)}+\frac{1}{1-\operatorname{ctg}^2(?)}$$.
а) Преобразуем выражение:
$$\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin^4 a-\cos^4 a} = \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a+\cos^2 a)}$$
Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем
$$\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{(\sin^2 a-\cos^2 a)\cdot 1}=1.$$
Значение выражения не зависит от $$a$$ и равно $$1$$.
б) Преобразуем выражение:
$$\frac{1}{1-\tg^2 a}+\frac{1}{1-\ctg^2 a} = \frac{1-\ctg^2 a+1-\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)}.$$
Используем тождество $$\tg^2 a\cdot \ctg^2 a=1$$:
$$(1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)=1-\tg^2 a-\ctg^2 a+\tg^2 a\cdot \ctg^2 a =2-\tg^2 a-\ctg^2 a.$$
Тогда
$$\frac{1-\ctg^2 a+1-\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)(1-\ctg^2 a)} = \frac{2-\tg^2 a-\ctg^2 a}{2-\tg^2 a-\ctg^2 a}=1.$$
Следовательно, при всех допустимых значениях $$a$$ выражение также равно $$1$$.
Ответ
а) $$1$$; б) $$1$$.
