Упр.1405 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Известно, что $$f(x)$$ — линейная функция, а последовательность $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n, \ldots$$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность $$f(x_1), f(x_2), f(x_3), \ldots, f(x_n), \ldots$$ также является арифметической прогрессией.
- Докажите, что при всех допустимых значениях $$?$$ верно равенство:
а) $$1-3\sin^2(?)\cos^2(?)=\sin^6(?)+\cos^6(?)$$;
б) $$\frac{\sin^2(?)}{\sin(?)-\cos(?)}-\frac{\sin(?)+\cos(?)}{\tg^2(?)-1}=\sin(?)+\cos(?)$$.
а) Преобразуем левую часть:
$$1-3\sin^2 a\cos^2 a=\sin^2 a+\cos^2 a-3\sin^2 a\cos^2 a$$
$$=\sin^2 a(1-\cos^2 a)+\cos^2 a(1-\sin^2 a)-\sin^2 a\cos^2 a$$
$$=\sin^2 a\cdot \sin^2 a+\cos^2 a\cdot \cos^2 a-\sin^2 a\cos^2 a$$
$$=\sin^4 a+\cos^4 a-\sin^2 a\cos^2 a$$
$$=(\sin^2 a+\cos^2 a)(\sin^4 a-\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a)$$
$$=\sin^6 a+\cos^6 a.$$
Равенство доказано.
б) Упростим левую часть:
$$\frac{\sin^2 a}{\sin a-\cos a}-\frac{\sin a+\cos a}{\tg^2 a-1} = \frac{\sin^2 a(\tg^2 a-1)-(\sin a+\cos a)(\sin a-\cos a)}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}.$$
Так как
$$\tg^2 a-1=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-1=\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\cos^2 a} =\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\cos^2 a},$$
то после приведения к общему знаменателю получаем:
$$\frac{\sin^2 a(\tg^2 a-1)-\sin^2 a+\cos^2 a}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)} = \frac{\sin^2 a\tg^2 a-2\sin^2 a+\cos^2 a}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}.$$
Используя $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$ и $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$, получаем:
$$\frac{(\sin a+\cos a)(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}=\sin a+\cos a.$$
Равенство доказано.
Ответ
а) $$1-3\sin^2 a\cos^2 a=\sin^6 a+\cos^6 a$$;
б) $$\dfrac{\sin^2 a}{\sin a-\cos a}-\dfrac{\sin a+\cos a}{\tg^2 a-1}=\sin a+\cos a$$.
