Упр.1405 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1-3sin^2(?)cos^2(?)=sin^6(?)+cos^6(?);
б) sin^2(?)/(sin(?)-cos(?))-(sin(?)+cos(?))/(tg^2(?)-1)=sin(?)+cos(?).

а) Преобразуем левую часть:

$$ 1-3\sin^2 a\cos^2 a=\sin^2 a+\cos^2 a-3\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =\sin^2 a(1-\cos^2 a)+\cos^2 a(1-\sin^2 a)-\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =\sin^2 a\cdot \sin^2 a+\cos^2 a\cdot \cos^2 a-\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =\sin^4 a+\cos^4 a-\sin^2 a\cos^2 a $$
$$ =(\sin^2 a+\cos^2 a)(\sin^4 a-\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a) $$
$$ =\sin^6 a+\cos^6 a. $$

Равенство доказано.

б) Упростим левую часть:

$$ \frac{\sin^2 a}{\sin a-\cos a}-\frac{\sin a+\cos a}{\tg^2 a-1} = \frac{\sin^2 a(\tg^2 a-1)-(\sin a+\cos a)(\sin a-\cos a)}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}. $$

Так как

$$ \tg^2 a-1=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-1=\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\cos^2 a} =\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\cos^2 a}, $$

то после приведения к общему знаменателю получаем:

$$ \frac{\sin^2 a(\tg^2 a-1)-\sin^2 a+\cos^2 a}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)} = \frac{\sin^2 a\tg^2 a-2\sin^2 a+\cos^2 a}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}. $$

Используя $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$ и $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$, получаем:

$$ \frac{(\sin a+\cos a)(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}{(\sin a-\cos a)(\tg^2 a-1)}=\sin a+\cos a. $$

Равенство доказано.

Ответ

а) $$1-3\sin^2 a\cos^2 a=\sin^6 a+\cos^6 a$$;
б) $$\dfrac{\sin^2 a}{\sin a-\cos a}-\dfrac{\sin a+\cos a}{\tg^2 a-1}=\sin a+\cos a$$.