Упр.1403 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Три различных целых числа, сумма которых равна $$-3$$, составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
- Упростите выражение:
а) $$\frac{\operatorname{tg}^2(?) + \operatorname{tg}(?)}{\operatorname{ctg}(?) + \operatorname{ctg}(?)}$$;
б) $$\frac{2\sin^2(?) — 1}{\sin(?) + \cos(?)}$$;
в) $$\frac{\cos^2(?) — \operatorname{ctg}(?)}{\sin^2(?) — \operatorname{tg}^2(?)}$$;
г) $$\operatorname{ctg}(?) + \frac{\sin(?)}{1+\cos(?)}$$.
а)
$$\frac{\tg a+\tg \beta}{\ctg a+\ctg \beta}= \frac{\tg a+\tg \beta}{\frac{1}{\tg a}+\frac{1}{\tg \beta}}= \frac{\tg a+\tg \beta}{\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a \tg \beta}}= \tg a \tg \beta.$$б)
$$\frac{2\sin^2 a-1}{\sin a+\cos a}= \frac{2\sin^2 a-\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin a+\cos a}= \frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin a+\cos a}.$$
Так как
$$\sin^2 a-\cos^2 a=(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a),$$
то
$$\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin a+\cos a}=\sin a-\cos a.$$в)
$$\frac{\cos^2 a-\ctg^2 a}{\sin^2 a-\tg^2 a}= \frac{\cos^2 a-\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\cos^2 a\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin^2 a}\Bigg/\frac{\sin^2 a\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a(\sin^2 a-1)}{\sin^2 a}\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a(\cos^2 a-1)}.$$
Используем тождества
$$\sin^2 a-1=-\cos^2 a,\qquad \cos^2 a-1=-\sin^2 a,$$
тогда
$$\frac{\cos^2 a(\sin^2 a-1)}{\sin^2 a}\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a(\cos^2 a-1)} = \frac{\cos^6 a}{\sin^6 a} = \ctg^6 a.$$г)
$$\ctg a+\frac{\sin a}{1+\cos a} = \frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\sin a}{1+\cos a}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\cos a(1+\cos a)+\sin^2 a}{\sin a(1+\cos a)}.$$
Так как
$$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$
получаем
$$\frac{\cos a+\cos^2 a+\sin^2 a}{\sin a(1+\cos a)} = \frac{\cos a+1}{\sin a(1+\cos a)} = \frac{1}{\sin a}.$$
Ответ
а) $$\tg a \tg \beta$$; б) $$\sin a-\cos a$$; в) $$\ctg^6 a$$; г) $$\frac{1}{\sin a}$$.
