Упр.1400 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений с параметрами $$a$$ и $$b$$:
а) $$\begin{cases}x+y=a,\\ \dfrac{x}{b-y}+\dfrac{b-y}{x}=\dfrac{5}{2};\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\dfrac{ax+b}{y}=2,\\ \dfrac{b}{x}+ay=2ab.\end{cases}$$
Упростите выражение:
а) $$\dfrac{\sin(?)}{1-\cos(?)}+\dfrac{\sin(?)}{1+\cos(?)}$$;
в) $$\dfrac{\sin(?)}{1+\cos(?)}+\operatorname{ctg}(?)$$;
б) $$\dfrac{\cos(?)}{1+\sin(?)}+\dfrac{\cos(?)}{1-\sin(?)}$$;
г) $$\dfrac{\cos(?)}{1-\sin(?)}-\operatorname{tg}(?)$$.

Подробный ответ

а)
$$\frac{\sin \beta}{1-\cos \beta}+\frac{\sin \beta}{1+\cos \beta}= \frac{\sin \beta(1+\cos \beta)+\sin \beta(1-\cos \beta)}{(1-\cos \beta)(1+\cos \beta)}$$
$$=\frac{\sin \beta+\sin \beta\cos \beta+\sin \beta-\sin \beta\cos \beta}{1-\cos^2 \beta} =\frac{2\sin \beta}{\sin^2 \beta} =\frac{2}{\sin \beta}$$
б)
$$\frac{\cos \beta}{1+\sin \beta}+\frac{\cos \beta}{1-\sin \beta}= \frac{\cos \beta(1-\sin \beta)+\cos \beta(1+\sin \beta)}{(1+\sin \beta)(1-\sin \beta)}$$
$$=\frac{\cos \beta-\sin \beta\cos \beta+\cos \beta+\sin \beta\cos \beta}{1-\sin^2 \beta} =\frac{2\cos \beta}{\cos^2 \beta} =\frac{2}{\cos \beta}$$
в)
$$\frac{\sin a}{1+\cos a}+\operatorname{ctg} a= \frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}$$
$$=\frac{\sin^2 a+\cos a(1+\cos a)}{\sin a(1+\cos a)} =\frac{\sin^2 a+\cos a+\cos^2 a}{\sin a(1+\cos a)}$$
$$=\frac{1+\cos a}{\sin a(1+\cos a)} =\frac{1}{\sin a}$$
г)
$$\frac{\cos a}{1-\sin a}-\operatorname{tg} a= \frac{\cos a}{1-\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}$$
$$=\frac{\cos^2 a-\sin a(1-\sin a)}{\cos a(1-\sin a)} =\frac{\cos^2 a-\sin a+\sin^2 a}{\cos a(1-\sin a)}$$
$$=\frac{1-\sin a}{\cos a(1-\sin a)} =\frac{1}{\cos a}$$