Упр.14 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^3-x^2-x+10):(x+2);
б) (2x^4+3x^2-6x^2-4x+5):(2x+3).

Подробный ответ

а) Делим многочлен $$x^3-x^2-x+10$$ на двучлен $$x+2$$.

Выполним деление уголком:

$$ x^3-x^2-x+10 : (x+2) $$
$$ x^3 : x = x^2 $$
$$ x^2(x+2)=x^3+2x^2 $$
$$ (x^3-x^2)-(x^3+2x^2)=-3x^2 $$
$$ -3x^2-x $$
$$ -3x^2 : x = -3x $$
$$ -3x(x+2)=-3x^2-6x $$
$$ (-3x^2-x)-(-3x^2-6x)=5x $$
$$ 5x+10 $$
$$ 5x : x = 5 $$
$$ 5(x+2)=5x+10 $$
$$ (5x+10)-(5x+10)=0 $$

Значит, частное равно $$x^2-3x+5$$.

б) Сначала приведём многочлен к стандартному виду:

$$ 2x^4+3x^2-6x^2-4x+5=2x^4-3x^2-4x+5 $$

Теперь делим на $$2x+3$$:

$$ 2x^4-3x^2-4x+5 : (2x+3) $$
$$ 2x^4 : 2x = x^3 $$
$$ x^3(2x+3)=2x^4+3x^3 $$
$$ (2x^4+0x^3-3x^2)- (2x^4+3x^3)=-3x^3-3x^2 $$
$$ -3x^3 : 2x = -\frac{3}{2}x^2 $$
$$ -\frac{3}{2}x^2(2x+3)=-3x^3-\frac{9}{2}x^2 $$
$$ \left(-3x^3-3x^2\right)-\left(-3x^3-\frac{9}{2}x^2\right)=\frac{3}{2}x^2 $$
$$ \frac{3}{2}x^2-4x $$
$$ \frac{3}{2}x^2 : 2x = \frac{3}{4}x $$
$$ \frac{3}{4}x(2x+3)=\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x $$
$$ \left(\frac{3}{2}x^2-4x\right)-\left(\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{4}x\right)=-\frac{25}{4}x $$
$$ -\frac{25}{4}x+5 $$
$$ -\frac{25}{4}x : 2x = -\frac{25}{8} $$
$$ -\frac{25}{8}(2x+3)=-\frac{25}{4}x-\frac{75}{8} $$
$$ \left(-\frac{25}{4}x+5\right)-\left(-\frac{25}{4}x-\frac{75}{8}\right)=\frac{115}{8} $$

Следовательно, частное и остаток:

$$ 2x^4-3x^2-4x+5=(2x+3)\left(x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}x-\frac{25}{8}\right)+\frac{115}{8} $$

Если требуется именно частное, то оно равно $$x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}x-\frac{25}{8}$$.