Упр.1397 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (1-tg^2(?))/(1+ctg^2(?)), если sin(?)=2/3;
б) (1-tg^2(?))/(1+ctg^2(?)), если cos(?)=-1/3?

а) Если $$\sin a=\frac{2}{3},$$ то

$$ \frac{1-\tg^2 a}{1+\ctg^2 a} =\sin^2 a\,(1-\tg^2 a) =\sin^2 a-\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a}. $$

Так как
$$ \sin^2 a=\frac{4}{9}, \qquad \cos^2 a=1-\sin^2 a=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}, $$
то
$$ \frac{1-\tg^2 a}{1+\ctg^2 a} =\frac{4}{9}-\frac{16}{81}\cdot\frac{9}{5} =\frac{4}{9}-\frac{16}{45} =\frac{20}{45}-\frac{16}{45} =\frac{4}{45}. $$

б) Если $$\cos a=-\frac{1}{3},$$ то

$$ \frac{1-\tg^2 a}{1+\ctg^2 a} =\frac{2-(1+\tg^2 a)}{1+\ctg^2 a} =\sin^2 a\left(2-\frac{1}{\cos^2 a}\right). $$

Так как
$$ \cos^2 a=\frac{1}{9}, \qquad \sin^2 a=1-\cos^2 a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}, $$
то
$$ \frac{1-\tg^2 a}{1+\ctg^2 a} =\frac{8}{9}\left(2-\frac{1}{1/9}\right) =\frac{8}{9}(2-9) =\frac{8}{9}\cdot(-7) =-\frac{56}{9} =-6\frac{2}{9}. $$

Ответ

а) $$\frac{4}{45}$$; б) $$-\frac{56}{9}$$.