Упр.1393 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

tg^2(?)+1/sin(?)·1/cos(?)+ctg^2(?).

Преобразуем выражение:

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a$$

Так как

$$\frac{1}{\sin a\cos a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}=\tg a+\ctg a,$$

то

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a=\tg^2 a+\tg a+\ctg a+\ctg^2 a.$$

Используем формулу:

$$\left(\tg a+\ctg a\right)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot\ctg a+\ctg^2 a.$$

Так как $$\tg a\cdot\ctg a=1,$$ получаем

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=\left(\tg a+\ctg a\right)^2-2.$$

Тогда

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a=\left(\tg a+\ctg a\right)^2-2+\tg a+\ctg a.$$

Подставим $$\tg a+\ctg a=5$$:

$$5^2-2+5=25-2+5=28.$$

Ответ

28