Упр.1393 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}(x+y)(x^2-y^2)=9,\\(x-y)(x^2+y^2)=5;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}(x^2+1)(y^2+1)=10,\\(x+y)(xy-1)=3.\end{cases}$$
2. Зная, что $$\operatorname{tg}(?)+\operatorname{ctg}(?)=5$$, найдите значение выражения $$\operatorname{tg}^2(?)+\frac{1}{\sin(?)}\cdot\frac{1}{\cos(?)}+\operatorname{ctg}^2(?).$$

Преобразуем выражение:

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a$$

Так как

$$\frac{1}{\sin a\cos a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}=\tg a+\ctg a,$$

то

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a=\tg^2 a+\tg a+\ctg a+\ctg^2 a.$$

Используем формулу:

$$\left(\tg a+\ctg a\right)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot\ctg a+\ctg^2 a.$$

Так как $$\tg a\cdot\ctg a=1,$$ получаем

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=\left(\tg a+\ctg a\right)^2-2.$$

Тогда

$$\tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot\frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a=\left(\tg a+\ctg a\right)^2-2+\tg a+\ctg a.$$

Подставим $$\tg a+\ctg a=5$$:

$$5^2-2+5=25-2+5=28.$$

Ответ

28