Упр.1391 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите: а) все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению $$2xy=x^2+2y$$; б) все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению $$x^4-4xy+y^4+2=0$$.
2. Докажите тождество: а) $$1+\sin(?)-\cos(?)-\operatorname{ctg}(?)=(1+\sin(?))(1-\operatorname{ctg}(?))$$; б) $$(\sin(?)+\cos(?))^2+(\sin(?)-\cos(?))^2=2$$; в) $$\frac{\sin(?)}{1-\cos(?)}=\frac{1+\cos(?)}{\sin(?)}$$; г) $$\frac{(\sin(?)+\cos(?))^2-1}{\operatorname{ctg}(?)-\sin(?)\cos(?)}=2\operatorname{tg}^2(?)$$.

1. а) Преобразуем правую часть:

   $$(1+\sin a)(1-\ctg a)=1-\ctg a+\sin a-\sin a\cdot \ctg a.$$

   Так как $$\sin a\cdot \ctg a=\cos a,$$ получаем

   $$(1+\sin a)(1-\ctg a)=1+\sin a-\cos a-\ctg a.$$

   Тождество доказано.

2. б) Раскроем скобки:

   $$(\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2$$

   $$=(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)+(\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a)$$

   $$=2\sin^2 a+2\cos^2 a=2(\sin^2 a+\cos^2 a)=2.$$

   Тождество доказано.

3. в) Преобразуем левую часть:

   $$\frac{\sin a}{1-\cos a} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{1-\cos^2 a} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{\sin^2 a} =\frac{1+\cos a}{\sin a}.$$

   Тождество доказано.

4. г) Упростим числитель и знаменатель:

   $$(\sin a+\cos a)^2-1 =\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1 =2\sin a\cos a.$$

   $$\ctg a-\sin a\cos a =\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a =\cos a\left(\frac{1}{\sin a}-\sin a\right) =\cos a\cdot \frac{1-\sin^2 a}{\sin a} =\cos a\cdot \frac{\cos^2 a}{\sin a} =\frac{\cos^3 a}{\sin a}.$$

   Тогда

   $$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a} =\frac{2\sin a\cos a}{\cos a\cdot \frac{\cos^2 a}{\sin a}} =\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} =2\tg^2 a.$$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$1+\sin a-\cos a-\ctg a=(1+\sin a)(1-\ctg a)$$; б) $$(\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2=2$$; в) $$\dfrac{\sin a}{1-\cos a}=\dfrac{1+\cos a}{\sin a}$$; г) $$\dfrac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a}=2\tg^2 a$$.