Упр.1391 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) 1+sin(?)-cos(?)-ctg(?)=(1+sin(?))(1-ctg(?));
б) (sin(?)+cos(?))^2+(sin(?)-cos(?))^2=2;
в) sin(?)/(1-cos(?))=(1+cos(?))/sin(?);
г) ((sin(?)+cos(?))^2-1)/(ctg(?)-sin(?)cos(?))=2tg^2(?).
а) Преобразуем правую часть:
$$ (1+\sin a)(1-\ctg a)=1-\ctg a+\sin a-\sin a\cdot \ctg a. $$
Так как $$\sin a\cdot \ctg a=\cos a,$$ получаем
$$ (1+\sin a)(1-\ctg a)=1+\sin a-\cos a-\ctg a. $$
Тождество доказано.
б) Раскроем скобки:
$$ (\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2 $$
$$ =(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)+(\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a) $$
$$ =2\sin^2 a+2\cos^2 a=2(\sin^2 a+\cos^2 a)=2. $$
Тождество доказано.
в) Преобразуем левую часть:
$$ \frac{\sin a}{1-\cos a} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{(1-\cos a)(1+\cos a)} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{1-\cos^2 a} =\frac{\sin a(1+\cos a)}{\sin^2 a} =\frac{1+\cos a}{\sin a}. $$
Тождество доказано.
г) Упростим числитель и знаменатель:
$$ (\sin a+\cos a)^2-1 =\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a-1 =2\sin a\cos a. $$
$$ \ctg a-\sin a\cos a =\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a =\cos a\left(\frac{1}{\sin a}-\sin a\right) =\cos a\cdot \frac{1-\sin^2 a}{\sin a} =\cos a\cdot \frac{\cos^2 a}{\sin a} =\frac{\cos^3 a}{\sin a}. $$
Тогда
$$ \frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a} =\frac{2\sin a\cos a}{\cos a\cdot \frac{\cos^2 a}{\sin a}} =\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} =2\tg^2 a. $$
Тождество доказано.
Ответ
а) $$1+\sin a-\cos a-\ctg a=(1+\sin a)(1-\ctg a)$$; б) $$ (\sin a+\cos a)^2+(\sin a-\cos a)^2=2 $$; в) $$ \dfrac{\sin a}{1-\cos a}=\dfrac{1+\cos a}{\sin a} $$; г) $$ \dfrac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\ctg a-\sin a\cos a}=2\tg^2 a $$.
