Упр.1390 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ любое значение функции $$f(x)=\frac{3x^2+ax-6}{x^2-x+1}$$ принадлежит промежутку $$(-9;6)$$?
2. Выразите:
   а) $$\sin^2(?) — \cos^2(?)$$ через $$\sin(?)$$;
   в) $$\frac{\sin(?) — \cos(?)}{\sin(?) + \cos(?)}$$ через $$\operatorname{tg}(?)$$;
   б) $$\operatorname{tg}^2(?) — \operatorname{ctg}^2(?)$$ через $$\cos(?)$$;
   г) $$\frac{\sin(?) + \cos(?)}{\sin(?) — \cos(?)}$$ через $$\operatorname{ctg}(?)$$.

а) Выразим через $$\sin a$$:

$$\sin^2 a-\cos^2 a=\sin^2 a-(1-\sin^2 a)=2\sin^2 a-1.$$

б) Выразим через $$\cos a$$:

$$\tg^2 a-\ctg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}-1-\left(\frac{1}{\sin^2 a}-1\right) =\frac{1}{\cos^2 a}-\frac{1}{\sin^2 a}.$$

$$\frac{1}{\cos^2 a}-\frac{1}{\sin^2 a} =\frac{\sin^2 a-\cos^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{1-2\cos^2 a}{\cos^2 a-\cos^4 a}.$$

в) Выразим через $$\tg a$$:

$$\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a} =\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-1}{\frac{\sin a}{\cos a}+1} =\frac{\tg a-1}{\tg a+1}.$$

г) Выразим через $$\ctg a$$:

$$\frac{\sin a+\cos a}{\sin a-\cos a} =\frac{\frac{\sin a}{\sin a}+\frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{\sin a}{\sin a}-\frac{\cos a}{\sin a}} =\frac{1+\ctg a}{1-\ctg a}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \sin^2 a-\cos^2 a=2\sin^2 a-1;\\ &\text{б) } \tg^2 a-\ctg^2 a=\frac{1-2\cos^2 a}{\cos^2 a-\cos^4 a};\\ &\text{в) } \frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\tg a-1}{\tg a+1};\\ &\text{г) } \frac{\sin a+\cos a}{\sin a-\cos a}=\frac{1+\ctg a}{1-\ctg a}. \end{aligned}$$