Упр.1389 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

a) cos(?), tg(?) и ctg(?) через sin(?); в) sin(?), cos(?) и ctg(?) через tg(?);
б) sin(?), tg(?) и ctg(?) через cos(?); г) sin(?), cos(?) и tg(?) через ctg(?).

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a+\cos^2 a=1.$$

Отсюда выражаем одну функцию через другую и подставляем в определения $$\tg a=\dfrac{\sin a}{\cos a}$$ и $$\ctg a=\dfrac{\cos a}{\sin a}.$$

1. а) Через $$\sin a$$:

   $$\cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2 a};$$

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\pm\frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}};$$

   $$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2 a}}{\sin a}.$$

2. б) Через $$\cos a$$:

   $$\sin a=\pm\sqrt{1-\cos^2 a};$$

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2 a}}{\cos a};$$

   $$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=\pm\frac{\cos a}{\sqrt{1-\cos^2 a}}.$$

3. в) Через $$\tg a$$:

   Из $$1+\tg^2 a=\dfrac{1}{\cos^2 a}$$ получаем

   $$\cos a=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}};$$

   $$\sin a=\tg a\cdot\cos a=\pm\frac{\tg a}{\sqrt{1+\tg^2 a}};$$

   $$\ctg a=\frac{1}{\tg a}.$$

4. г) Через $$\ctg a$$:

   Из $$1+\ctg^2 a=\dfrac{1}{\sin^2 a}$$ получаем

   $$\sin a=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 a}};$$

   $$\cos a=\ctg a\cdot\sin a=\pm\frac{\ctg a}{\sqrt{1+\ctg^2 a}};$$

   $$\tg a=\frac{1}{\ctg a}.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } \cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2 a},\quad \tg a=\pm\frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}},\quad \ctg a=\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2 a}}{\sin a};\\ &\text{б) } \sin a=\pm\sqrt{1-\cos^2 a},\quad \tg a=\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2 a}}{\cos a},\quad \ctg a=\pm\frac{\cos a}{\sqrt{1-\cos^2 a}};\\ &\text{в) } \cos a=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}},\quad \sin a=\pm\frac{\tg a}{\sqrt{1+\tg^2 a}},\quad \ctg a=\frac{1}{\tg a};\\ &\text{г) } \sin a=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 a}},\quad \cos a=\pm\frac{\ctg a}{\sqrt{1+\ctg^2 a}},\quad \tg a=\frac{1}{\ctg a}. \end{aligned} $$