Упр.1376 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Имеется кусок сплава меди с оловом массой $$15\ \text{кг}$$, содержащий $$40\%$$ меди. Сколько чистого олова нужно взять, чтобы получить новый сплав, содержащий $$30\%$$ меди?
- Покажите штриховкой в координатной плоскости множество решений системы
$$\begin{cases} x^2+y^2?25,\\ \frac{1}{2}xy?6. \end{cases}$$
Рассмотрим систему неравенств:
$$\begin{cases} x^2+y^2\le 25,\\ \frac12xy\ge 6. \end{cases}$$
Из второго неравенства получаем:
$$xy\ge 12.$$
Так как произведение $$xy$$ должно быть положительным, то решения возможны только в I и III четвертях. Граница второго неравенства — гипербола
$$y=\frac{12}{x}.$$
Тогда система задаёт пересечение круга
$$x^2+y^2\le 25$$
с областью, лежащей выше ветви гиперболы в I четверти и ниже ветви гиперболы в III четверти.
Точки пересечения окружности и гиперболы найдём из системы
$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases}$$
Возведём в квадрат сумму:
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25+24=49,$$
значит,
$$x+y=\pm 7.$$
1) Если $$x+y=7,$$ то вместе с $$xy=12$$ получаем числа $$x=3$$ и $$y=4$$ или $$x=4$$ и $$y=3.$$
2) Если $$x+y=-7,$$ то $$x=-3,\ y=-4$$ или $$x=-4,\ y=-3.$$
Следовательно, граница области пересечения проходит через точки $$(3,4),\ (4,3),\ (-3,-4),\ (-4,-3).$$
Искомое множество решений — части круга $$x^2+y^2\le 25,$$ лежащие в I и III четвертях и расположенные по нужную сторону от гиперболы $$xy=12.$$
Ответ
Область внутри круга $$x^2+y^2\le 25$$, расположенная в I и III четвертях и удовлетворяющая условию $$xy\ge 12$$; граница проходит через точки $$(3,4),\ (4,3),\ (-3,-4),\ (-4,-3).$$
