Упр.1376 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1376. Покажите штриховкой в координатной плоскости множество решений системы {x^2+y^2?25, 1/2 xy?6}.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 25,\\ \frac12xy\ge 6. \end{cases} $$

Из второго неравенства получаем:

$$xy\ge 12.$$

Так как произведение $$xy$$ должно быть положительным, то решения возможны только в I и III четвертях. Граница второго неравенства — гипербола

$$ y=\frac{12}{x}. $$

Тогда система задаёт пересечение круга

$$ x^2+y^2\le 25 $$

с областью, лежащей выше ветви гиперболы в I четверти и ниже ветви гиперболы в III четверти.

Точки пересечения окружности и гиперболы найдём из системы

$$ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} $$

Возведём в квадрат сумму:

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25+24=49, $$

значит,

$$ x+y=\pm 7. $$

1) Если $$x+y=7,$$ то вместе с $$xy=12$$ получаем числа $$x=3$$ и $$y=4$$ или $$x=4$$ и $$y=3.$$

2) Если $$x+y=-7,$$ то $$x=-3,\ y=-4$$ или $$x=-4,\ y=-3.$$

Следовательно, граница области пересечения проходит через точки $$ (3,4),\ (4,3),\ (-3,-4),\ (-4,-3). $$

Искомое множество решений — части круга $$x^2+y^2\le 25,$$ лежащие в I и III четвертях и расположенные по нужную сторону от гиперболы $$xy=12.$$

Ответ

Область внутри круга $$x^2+y^2\le 25$$, расположенная в I и III четвертях и удовлетворяющая условию $$xy\ge 12$$; граница проходит через точки $$ (3,4),\ (4,3),\ (-3,-4),\ (-4,-3). $$