Упр.1372 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите множество корней уравнения:
   а) $$\frac{x^2-6x+15}{x^2-12x+15}=\frac{x^2-10x+15}{4x}$$;
   б) $$\frac{4x}{x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1$$.
2. Докажите равенство:
   а) $$\sin\left(\frac{?}{4}+?\right)=\cos\left(\frac{?}{4}-?\right)$$;
   б) $$\tg\left(\frac{?}{4}-?\right)=\ctg\left(\frac{?}{4}+?\right)$$.

а) Используем формулу приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\right).$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\pi}{4}-a.$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right).$$

Равенство доказано.

б) Используем формулу приведения для котангенса:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\right).$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\pi}{4}+a.$$

Следовательно,

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

Равенство доказано.

Ответ

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right);$$
б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$