Упр.1366 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Для равнобокой трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$, боковой стороной $$c$$ и диагоналями $$d$$ теорема Птолемея запишется формулой $$d^2=ab+c^2$$. Пользуясь этой формулой, найдите:
а) диагональ трапеции, если её основания равны 8 и 6, а боковая сторона равна 4;
б) боковую сторону трапеции, если её основания равны 12 и 4, а диагональ равна 8.
Упростите выражение:
а) $$\cos(?/2-?)\sin(?+?)+\sin(2?-?)\cos(3?/2+?)$$;
б) $$\operatorname{tg}(?+?)\operatorname{ctg}(?/2-?)-\operatorname{ctg}(3?/2-?)\operatorname{tg}(?-?)$$.
а)
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin(\pi+a)+\sin(2\pi-a)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)$$
Используем формулы приведения:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a,\quad \sin(\pi+a)=-\sin a,$$
$$\sin(2\pi-a)=-\sin a,\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=-\sin a.$$
Тогда
$$\sin a\cdot(-\sin a)+(-\sin a)\cdot(-\sin a)=-\sin^2 a-\sin^2 a=-2\sin^2 a.$$
б)
$$\tg(\pi+a)\ctg\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\tg(\pi-a)$$
Применим формулы приведения:
$$\tg(\pi+a)=\tg a,\quad \ctg\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\tg a,$$
$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\tg a,\quad \tg(\pi-a)=-\tg a.$$
Тогда
$$\tg a\cdot\tg a-(-\tg a)\cdot(-\tg a)=\tg^2 a-\tg^2 a=0.$$
Ответ
а) $$-2\sin^2 a$$; б) $$0$$.
