Упр.1363 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения: а) $$28a-7b+20$$, если $$\frac{2a-5b+7}{5a-2b+7}=6$$; б) $$33a-23b+56$$, если $$\frac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=9$$.
2. Докажите, что если $$?+?+?=?$$, то: а) $$\cos\left(\frac{?+?}{2}\right)=\sin\left(\frac{?}{2}\right)$$; б) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?+?}{2}\right)=\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)$$.

Из условия известно, что $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда

$$\alpha+\beta=\pi-\gamma.$$

Докажем оба равенства.

а)

$$\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =\cos\frac{\pi-\gamma}{2} =\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right) =\sin\frac{\gamma}{2}.$$

Следовательно, $$\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\gamma}{2}.$$

б)

$$\ctg\frac{\alpha+\beta}{2} =\ctg\frac{\pi-\gamma}{2} =\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right) =\tg\frac{\gamma}{2}.$$

Следовательно, $$\ctg\frac{\alpha+\beta}{2}=\tg\frac{\gamma}{2}.$$

Ответ

$$\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\gamma}{2},\qquad \ctg\frac{\alpha+\beta}{2}=\tg\frac{\gamma}{2}.$$