Упр.1354 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1354. Упростите выражение (x^(1/3)+y^(1/3))(x^(2/3)+y^(2/3)-x^(1/3) y^(1/3))/((x^(-1/6) y^(5/6)+x^(1/3) y^(1/3))^2 (x^(-1/6) y^(5/6)-x^(1/3) y^(1/3))^2).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac23}+y^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)} {\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}+x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2+\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2} $$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле $$\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2a^2+2b^2$$, где

$$ a=x^{-\frac16}y^{\frac56}, \qquad b=x^{\frac13}y^{\frac13}. $$

Тогда

$$ \left(x^{-\frac16}y^{\frac56}+x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2+\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2 =2x^{-\frac13}y^{\frac53}+2x^{\frac23}y^{\frac23}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ 2x^{-\frac13}y^{\frac23}(y+x). $$

Теперь преобразуем числитель:

$$ \left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac23}+y^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right) = x^{\frac13}y^{\frac13}(x+y). $$

Тогда исходное выражение равно

$$ \frac{x^{\frac13}y^{\frac13}(x+y)}{2x^{-\frac13}y^{\frac23}(x+y)} = \frac{x^{\frac13}y^{\frac13}}{2x^{-\frac13}y^{\frac23}} = \frac{x^{\frac23}}{2y^{\frac13}}. $$

После сокращения и упрощения получаем

$$ \frac{1}{2y}. $$