Упр.1354 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы все вместе они составляли пять последовательных членов геометрической прогрессии.
- Упростите выражение $$\frac{\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}-x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2}$$.
Преобразуем выражение:
$$\frac{\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac23}+y^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)} {\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}+x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2+\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2}$$
Раскроем скобки в знаменателе по формуле $$\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2a^2+2b^2$$, где
$$a=x^{-\frac16}y^{\frac56}, \qquad b=x^{\frac13}y^{\frac13}.$$
Тогда
$$\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}+x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2+\left(x^{-\frac16}y^{\frac56}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right)^2 =2x^{-\frac13}y^{\frac53}+2x^{\frac23}y^{\frac23}.$$
Вынесем общий множитель:
$$2x^{-\frac13}y^{\frac23}(y+x).$$
Теперь преобразуем числитель:
$$\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac23}+y^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}\right) = x^{\frac13}y^{\frac13}(x+y).$$
Тогда исходное выражение равно
$$\frac{x^{\frac13}y^{\frac13}(x+y)}{2x^{-\frac13}y^{\frac23}(x+y)} = \frac{x^{\frac13}y^{\frac13}}{2x^{-\frac13}y^{\frac23}} = \frac{x^{\frac23}}{2y^{\frac13}}.$$
После сокращения и упрощения получаем
$$\frac{1}{2y}.$$
Ответ
$$\frac{1}{2y}$$
