Упр.135 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 135. Докажите, что если функция y=f(x) возрастает на промежутке [a; b], то функция y=f(-x) убывает на промежутке [—b; —a].

Пусть функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$[a;b]$$. Тогда для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого промежутка, если $$x_1<x_2$$, то

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Рассмотрим теперь числа $$-x_1$$ и $$-x_2$$. Из неравенства $$x_1<x_2$$ следует

$$-x_1>-x_2.$$

Если обозначить $$t_1=-x_1$$ и $$t_2=-x_2$$, то при $$-b\le t_1<t_2\le -a$$ имеем

$$f(-t_1)=f(x_1), \qquad f(-t_2)=f(x_2).$$

Так как $$f(x_1)<f(x_2)$$, то

$$f(-t_1)<f(-t_2).$$

Но при этом $$t_1<t_2$$, значит, при увеличении аргумента $$t$$ на промежутке $$[-b;-a]$$ значение функции $$f(-t)$$ уменьшается. Следовательно, функция $$y=f(-x)$$ убывает на промежутке $$[-b;-a]$$.

Ответ

Если $$y=f(x)$$ возрастает на $$[a;b]$$, то $$y=f(-x)$$ убывает на $$[-b;-a]$$.