Упр.1349 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=tg(sin(x)); б) y=sin(tg(x))?
Какова область её определения?

а) Рассмотрим функцию $$y=\tg(\sin x).$$

Так как $$\sin(x+2\pi)=\sin x,$$ то

$$ y(x+2\pi)=\tg(\sin(x+2\pi))=\tg(\sin x)=y(x). $$

Значит, функция периодическая, её период равен $$2\pi$$.

Область определения: нужно, чтобы выражение $$\tg(\sin x)$$ было определено. Тангенс не определён при

$$ \sin x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Но $$\sin x\in[-1;1],$$ а числа $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$ не попадают в этот промежуток. Следовательно, ограничений нет, и

$$D(x)=\mathbb R.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sin(\tg x).$$

Так как $$\tg(x+\pi)=\tg x,$$ то

$$ y(x+\pi)=\sin(\tg(x+\pi))=\sin(\tg x)=y(x). $$

Значит, функция периодическая, её период равен $$\pi$$.

Область определения задаётся условием существования тангенса:

$$ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Следовательно,

$$ D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}. $$

Ответ

а) функция периодическая, период $$2\pi$$, $$D(x)=\mathbb R$$;

б) функция периодическая, период $$\pi$$, $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$.