Упр.1348 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) y=sin(x)+tg(x); в) y=cos(1/2x)ctg(1/3x);
б) y=cos(3/5x)+sin(3/4x); г) y=sin(4x)tg(5x).
а) $$y=\sin x+\tg x$$
Период функции $$\sin x$$ равен $$2\pi$$, а период функции $$\tg x$$ равен $$\pi$$. Общий период суммы — наименьшее общее кратное этих чисел:
$$T=2\pi.$$
б) $$y=\cos \frac{3}{5}x+\sin \frac{3}{4}x$$
Найдём периоды слагаемых:
$$T_1=\frac{2\pi}{3/5}=\frac{10\pi}{3}, \qquad T_2=\frac{2\pi}{3/4}=\frac{8\pi}{3}.$$
Ищем общий период:
$$\frac{10\pi}{3}\cdot n=\frac{8\pi}{3}\cdot k,$$
$$10n=8k,$$
$$5n=4k.$$
Минимально при $$n=4,\ k=5$$ получаем
$$T=\frac{10\pi}{3}\cdot 4=\frac{40\pi}{3}.$$
в) $$y=\cos \frac{1}{2}x\cdot \ctg \frac{1}{3}x$$
Периоды множителей:
$$T_1=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi, \qquad T_2=\frac{\pi}{1/3}=3\pi.$$
Ищем общий период:
$$4\pi\cdot n=3\pi\cdot k,$$
$$4n=3k.$$
Минимально при $$n=3,\ k=4$$ получаем
$$T=4\pi\cdot 3=12\pi.$$
г) $$y=\sin 4x\cdot \tg 5x$$
Периоды множителей:
$$T_1=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \qquad T_2=\frac{\pi}{5}.$$
Ищем общий период:
$$\frac{\pi}{2}\cdot n=\frac{\pi}{5}\cdot k,$$
$$5n=2k.$$
Минимально при $$n=2,\ k=5$$ получаем
$$T=\frac{\pi}{2}\cdot 2=\pi.$$
Ответ
а) $$2\pi$$; б) $$\frac{40\pi}{3}$$; в) $$12\pi$$; г) $$\pi$$.
