Упр.1348 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. На рисунке 118 изображён фрагмент ступенчатой фигуры, составленной из квадратов. Из скольких квадратов состоит: а) 5-я строка; б) 25-я строка; в) 105-я строка?
2. Найдите основной период функции: а) $$y=\sin(x)+\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=\cos\left(\frac{1}{2}x\right)\operatorname{ctg}\left(\frac{1}{3}x\right)$$; б) $$y=\cos\left(\frac{3}{5}x\right)+\sin\left(\frac{3}{4}x\right)$$; г) $$y=\sin(4x)\operatorname{tg}(5x)$$.

1. а) $$y=\sin x+\tg x$$

   Период функции $$\sin x$$ равен $$2\pi$$, а период функции $$\tg x$$ равен $$\pi$$. Общий период суммы — наименьшее общее кратное этих чисел:

   $$T=2\pi.$$

2. б) $$y=\cos \frac{3}{5}x+\sin \frac{3}{4}x$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{3/5}=\frac{10\pi}{3}, \qquad T_2=\frac{2\pi}{3/4}=\frac{8\pi}{3}.$$

   Ищем общий период:

   $$\frac{10\pi}{3}\cdot n=\frac{8\pi}{3}\cdot k,$$

   $$10n=8k,$$

   $$5n=4k.$$

   Минимально при $$n=4,\ k=5$$ получаем

   $$T=\frac{10\pi}{3}\cdot 4=\frac{40\pi}{3}.$$

3. в) $$y=\cos \frac{1}{2}x\cdot \ctg \frac{1}{3}x$$

   Периоды множителей:

   $$T_1=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi, \qquad T_2=\frac{\pi}{1/3}=3\pi.$$

   Ищем общий период:

   $$4\pi\cdot n=3\pi\cdot k,$$

   $$4n=3k.$$

   Минимально при $$n=3,\ k=4$$ получаем

   $$T=4\pi\cdot 3=12\pi.$$

4. г) $$y=\sin 4x\cdot \tg 5x$$

   Периоды множителей:

   $$T_1=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \qquad T_2=\frac{\pi}{5}.$$

   Ищем общий период:

   $$\frac{\pi}{2}\cdot n=\frac{\pi}{5}\cdot k,$$

   $$5n=2k.$$

   Минимально при $$n=2,\ k=5$$ получаем

   $$T=\frac{\pi}{2}\cdot 2=\pi.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{40\pi}{3}$$; в) $$12\pi$$; г) $$\pi$$.