Упр.1345 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) tg(46°)+ctg(44°) > 2;
б) 3ctg(2?/5)+3tg(?/7) < 2v3.

а) Так как функция $$\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(0^\circ;90^\circ\right),$$ то при $$46^\circ>45^\circ$$ имеем

$$\tg 46^\circ>\tg 45^\circ=1.$$

Функция $$\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(0^\circ;90^\circ\right),$$ поэтому при $$44^\circ<45^\circ$$ получаем

$$\ctg 44^\circ>\ctg 45^\circ=1.$$

Складывая неравенства, получаем

$$\tg 46^\circ+\ctg 44^\circ>1+1=2.$$

Неравенство доказано.

б) Используем значения тригонометрических функций:

$$\ctg \frac{2\pi}{5}<\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$

$$\tg \frac{\pi}{7}<\tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$3\ctg \frac{2\pi}{5}+3\tg \frac{\pi}{7}<3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

а) $$\tg 46^\circ+\ctg 44^\circ>2$$; б) $$3\ctg \frac{2\pi}{5}+3\tg \frac{\pi}{7}<2\sqrt{3}.$$