Упр.1344 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Последовательность $$(b_n)$$ задана рекуррентным способом: $$b_1=12$$, $$b_{n+1}=2b_{n-3}$$. Сравните $$b_2$$ и $$b_4$$.
2. При каких значениях $$x$$ из промежутка $$(0;\frac{\pi}{2})$$ верно неравенство:
   а) $$\operatorname{tg}(x)>\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)$$;
   б) $$\operatorname{tg}(x)<\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$;
   в) $$\operatorname{ctg}(x)>\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$?

На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функции $$\tg x$$ и $$\ctg x$$ положительны и монотонны: $$\tg x$$ возрастает, а $$\ctg x$$ убывает.

а) $$\tg x>\ctg \frac{\pi}{3}$$

Так как $$\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

$$\tg x>\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Поскольку $$\tg \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ а $$\tg x$$ возрастает, получаем

$$x>\frac{\pi}{6}.$$

С учётом промежутка $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем:

$$\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2}.$$

б) $$\tg x<\ctg \frac{\pi}{6}$$

Так как $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$ то

$$\tg x<\sqrt{3}.$$

Поскольку $$\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$ и $$\tg x$$ возрастает, получаем

$$x<\frac{\pi}{3}.$$

Значит,

$$0<x<\frac{\pi}{3}.$$

в) $$\ctg x>\tg \frac{\pi}{6}$$

Так как $$\tg \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

$$\ctg x>\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Функция $$\ctg x$$ убывает на $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, а $$\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ значит

$$x<\frac{\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$0<x<\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2}$$; б) $$0<x<\frac{\pi}{3}$$; в) $$0<x<\frac{\pi}{3}$$.