Упр.1343 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
а) $$\left(0{,}7^0+\left(1\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}:0{,}8^{-4}\right)\cdot0{,}81^{-0{,}5}$$;
б) $$\left(0{,}49^{-1{,}5}:\left(1\frac{3}{7}\right)^4+0{,}64^{-\frac{1}{2}}\right)\cdot3\frac{1}{13}$$.
Сравните:
а) $$\operatorname{ctg}(25^\circ)$$ и $$\operatorname{tg}(50^\circ)$$;
б) $$\operatorname{tg}(25^\circ)$$ и $$\operatorname{ctg}(50^\circ)$$;
в) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{18}$$;
г) $$\cos\frac{\pi}{5}$$ и $$\operatorname{tg}\frac{2\pi}{9}$$.

Подробный ответ

Сравним $$\ctg 25^\circ$$ и $$\tg 50^\circ$$.
Так как $$25^\circ < 30^\circ$$, то $$\ctg 25^\circ > \ctg 30^\circ = \sqrt{3}.$$
А так как $$50^\circ < 60^\circ$$, то $$\tg 50^\circ < \tg 60^\circ = \sqrt{3}.$$
Следовательно, $$\ctg 25^\circ > \tg 50^\circ.$$
Сравним $$\tg 25^\circ$$ и $$\ctg 50^\circ$$.
Так как $$25^\circ < 30^\circ$$, то $$\tg 25^\circ < \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
А так как $$50^\circ < 60^\circ$$, то $$\ctg 50^\circ > \ctg 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Следовательно, $$\tg 25^\circ < \ctg 50^\circ.$$
Сравним $$\tg \frac{\pi}{7}$$ и $$\sin \frac{5\pi}{18}$$.
Так как $$\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{6}$$, то $$\tg \frac{\pi}{7} < \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
А так как $$\frac{5\pi}{18} > \frac{\pi}{4}$$, то $$\sin \frac{5\pi}{18} > \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Следовательно, $$\tg \frac{\pi}{7} < \sin \frac{5\pi}{18}.$$
Сравним $$\cos \frac{\pi}{5}$$ и $$\tg \frac{2\pi}{9}$$.
Так как $$\frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{6}$$, то $$\cos \frac{\pi}{5} < \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
А так как $$\frac{2\pi}{9} > \frac{\pi}{6}$$, то $$\tg \frac{2\pi}{9} > \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Но этих оценок недостаточно, чтобы однозначно сравнить числа $$\cos \frac{\pi}{5}$$ и $$\tg \frac{2\pi}{9}$$.